時(shí)間：2023-02-20 16:43:19
序論：在您撰寫離散數(shù)學(xué)論文時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
我們經(jīng)常會(huì)碰到一些好像不知如何解答的問題，而用假設(shè)法分析和推理往往可以使問題迎刃而解。比如有這樣一道題：
某商店A、B、C三種商品單價(jià)分別是10元、6元、4元，小王買了這三種商品各若干件，共付錢40元。后來，小王覺得其中一種商品買多了，想退還其中兩件商品，但是營業(yè)員只有20元面值的人民幣，沒有零錢退。小王只好調(diào)整其他兩種商品的購買數(shù)量，使總價(jià)保持不變。小王買得B商品多少件？初看這題，一時(shí)不知從什么角度思考，而從假設(shè)開始分析，層層推理，思路慢慢就清晰。
1．假設(shè)想退還的兩件是A商品。10×2=20（元），營業(yè)員有20元面值的人民幣，可以退還。與題意不符。
2．假設(shè)想退還的兩件是B商品。6×2=12（元），不可退還，而12÷4=3（件）正好可以調(diào)整3件C商品，符合題意。
3．假設(shè)想退還的兩件是C商品。4×2=8（元），要是總價(jià)保持不變，就不能調(diào)整其他商品，不符合題意。
從而，可以得出：想退還的商品是B商品。
下面繼續(xù)用假設(shè)法分析。
1．假設(shè)原來A商品買了3件，還剩40-10×3=10（元），10=6+4，則B與C商品就只能各買一件，與前面分析的結(jié)論不符。
2．假設(shè)原來A商品買了2件，還剩40-10×2=20（元），20=（6+4）×2，則B與C商品就只能各買兩件，與前面分析的結(jié)論和題意不符。
則A商品只買了一件，買B商品與C商品的總價(jià)是40-10=30（元），再根據(jù)B商品要退還2件再列表分析：
從而得出B商品原來買了3件，現(xiàn)退還2件，只購得1件商品。
可見用學(xué)會(huì)用假設(shè)法分析、推理，對(duì)思考解決問題是很有幫助的。下面我出一題，同學(xué)們可用這種方法思考解答。
排球的單價(jià)是58元，足球的單價(jià)是85元。學(xué)校買了排球和足球共14個(gè)，一共用去1028元。學(xué)校買來的排球和足球各有多少個(gè)？
二、“騙人的”余數(shù)
“叮咚”門鈴一響，媽媽回來了，“生日快樂!”話音剛落，媽媽從背后拿出了一盒包裝精美的蛋糕。哦，我差點(diǎn)忘了！今天是我的生日呀！正當(dāng)我迫不及待地想打開蛋糕盒時(shí)，發(fā)現(xiàn)還有一張小巧彩色卡片。我抬頭望了望媽媽，只見媽媽神秘地說：“先答題，答對(duì)了才能吃蛋糕哦！”?。寢尯喼弊兂闪恕伴_心辭典”里的王小丫了，我只能先咽下口水，沉著“應(yīng)戰(zhàn)”了。
我看了看卡片，上面是一道應(yīng)用題：2010年上海世博會(huì)前夕，一家學(xué)生旅行團(tuán)來上海預(yù)訂房間，酒店有三種房間：三人間每間135元；二人間每人100元；四人間每人120元，這個(gè)團(tuán)男生15，女生12人，要求男女生分開住，他們?cè)鯓宇A(yù)訂更省錢呢?我思考了一會(huì)兒,決定用列表法解題：
從表中就能很清楚地看出四人間是最省錢的，每人只要付30元，那就再分別計(jì)算男、女生各需多少錢。
女生：12÷4×120=360元
男生：15÷4=3（間）…3（人）
則男生要花：3×120+135元=495元
共需360+495=855元
正當(dāng)我自鳴得意時(shí)，媽媽提醒我這樣預(yù)訂房間是不是最省錢??？我仔細(xì)檢查了一下,這才發(fā)現(xiàn)做錯(cuò)了，在計(jì)算男生房間時(shí)被那討厭的余數(shù)蒙騙了，其它剩下的3個(gè)人完全可訂最便宜的四人間，那男生只需花：3×120+120=480（元）
則共花：360+480=840（元）是最省錢的
這道題的余數(shù)就象是一個(gè)陷阱，容易誤導(dǎo)人，一不小心就錯(cuò)了，看著媽媽的贊許的目光，我吃著香甜的蛋糕，覺得今天的生日蛋糕是最好吃的。
三、計(jì)算“魔術(shù)師”
每一次考試，基本上都要考到計(jì)算，同學(xué)們肯定都厭煩計(jì)算，特別是四則混合運(yùn)算，再加上分?jǐn)?shù)、小數(shù)，真是煩上加煩。但是，考試終究是要考到計(jì)算，那怎樣讓計(jì)算不那麻煩，不容易出錯(cuò)呢？那就要用上簡便計(jì)算的定律了它可以像一個(gè)魔術(shù)是一樣讓我們的混合運(yùn)算更加的簡便！
常見的簡便計(jì)算的定律有：乘法分配律（也就是提取公因數(shù)）比如說下面一題就是在我們看過的一道題目：0.88×93+0.88×7如果這道題目列豎式計(jì)算的話會(huì)很麻煩，也有可能算錯(cuò)。如果要簡便計(jì)算的話就可以把97和3相加，然后就可以簡便計(jì)算了：
0.88×97+0.88×3
=0.88×（97+3）
=0.88×100
=88
這樣計(jì)算就簡便多了，不用再去死算，而且不容易出錯(cuò)。
在計(jì)算中，雖然可以用計(jì)算公式但是有一些題目還需要一步一步地算，比如說有兩組很容易就上當(dāng)?shù)乃膭t運(yùn)算：12×48÷12×48和12×48÷（12×48）。第一個(gè)看上去可以很快的算出來，其實(shí)，這只是一個(gè)陷阱，如果非要在第一個(gè)上簡算，也可以用×12和÷12抵消，轉(zhuǎn)化成48×48。而第二個(gè)的運(yùn)算順序和第一個(gè)是相反的，先算括號(hào)里的12×48，然后按照運(yùn)算順序把前面的12×48算出來，就可以轉(zhuǎn)化成1÷1結(jié)果等于1。
關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；實(shí)驗(yàn)教學(xué)；實(shí)踐能力
離散數(shù)學(xué)課程所涉及的概念、理論和方法，大量地應(yīng)用在計(jì)算機(jī)科學(xué)體系中，數(shù)理邏輯是計(jì)算機(jī)中的邏輯學(xué)、邏輯電路、人工智能的基礎(chǔ)課程，集合與關(guān)系是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，而代數(shù)系統(tǒng)則是現(xiàn)實(shí)世界的縮影，直接模擬了現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，圖論知識(shí)更是直接應(yīng)用在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理等專業(yè)課程中。但傳統(tǒng)教學(xué)中過于注重理論教學(xué)而忽略實(shí)踐，學(xué)生普遍認(rèn)為枯燥難懂，認(rèn)為是純粹的數(shù)學(xué)課程，對(duì)計(jì)算機(jī)編程用處不大。因此教師在授課過程中要注重理論聯(lián)系實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)素養(yǎng)，我們將從以下方面循序漸進(jìn)加強(qiáng)教學(xué)理論與實(shí)踐。
1課程教學(xué)注重教學(xué)方法與教學(xué)實(shí)踐的改革與創(chuàng)新
加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際，從提高計(jì)算機(jī)編程思想的角度對(duì)學(xué)生展開教學(xué)，教師在講解理論的同時(shí)，要注重其實(shí)際應(yīng)用與算法描述。例如在講解最短路徑時(shí)，就要介紹Dijkstra算法，單源最短路徑的基本思想如下：設(shè)S為最短距離已確定的頂點(diǎn)集(看作紅點(diǎn)集)，V-S是最短距離尚未確定的頂點(diǎn)集(看作藍(lán)點(diǎn)集)。
①初始化：只有源點(diǎn)s的最短距離是已知的(SD(s)=0)，故紅點(diǎn)集S={s}，藍(lán)點(diǎn)集為空。
②重復(fù)以下工作，按路徑長度遞增次序產(chǎn)生各頂點(diǎn)最短路徑：在當(dāng)前藍(lán)點(diǎn)集中選擇一個(gè)最短距離最小的藍(lán)點(diǎn)來擴(kuò)充紅點(diǎn)集，以保證算法按路徑長度遞增的次序產(chǎn)生各頂點(diǎn)的最短路徑。當(dāng)藍(lán)點(diǎn)集中僅剩下最短距離為∞的藍(lán)點(diǎn)，或者所有藍(lán)點(diǎn)已擴(kuò)充到紅點(diǎn)集時(shí)，s到所有頂點(diǎn)的最短路徑就求出來了。
我們通過實(shí)例給學(xué)生模擬算法執(zhí)行過程，驗(yàn)證算法的正確性，但細(xì)心的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)前面加進(jìn)去的點(diǎn)并不一定是后期考察路徑的必經(jīng)點(diǎn)，例如有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，AB、BC、AC間權(quán)值分別為1，2，4，如果設(shè)A為源點(diǎn)，則第一次加進(jìn)來的點(diǎn)是B，到C的最短路徑應(yīng)該是A-B-C，如果BC權(quán)值為4，則到C的最短路徑應(yīng)該是A-C，這里就要注意紅點(diǎn)集加入的點(diǎn)不是其他點(diǎn)必經(jīng)點(diǎn)，這是因?yàn)榧显厥菬o序的，不是聯(lián)結(jié)已有的點(diǎn)作為最后點(diǎn)的路徑的。
我們給出求解的動(dòng)畫演示過程，加深學(xué)生的認(rèn)識(shí)，實(shí)際多應(yīng)用在交通網(wǎng)絡(luò)中路徑的查詢中，兩地之間是否有路徑以及如果有多條路徑時(shí)找最短路徑等，最后再對(duì)算法進(jìn)行擴(kuò)展解決單目標(biāo)最短路徑問題、單頂點(diǎn)對(duì)間最短路徑問題等，擴(kuò)展學(xué)生對(duì)算法的理解等。
在講解邏輯推理時(shí)，建議學(xué)生使用Prolog語言可以輕松實(shí)現(xiàn)命題和聯(lián)結(jié)詞表示以及邏輯推理，代數(shù)系統(tǒng)則是無處不再，自動(dòng)售貨機(jī)、電梯系統(tǒng)、自動(dòng)取款機(jī)等都是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，有自己的運(yùn)算關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生定義一些運(yùn)算，完成一個(gè)具有輸入輸出的可交互的系統(tǒng)。
2建設(shè)完善實(shí)驗(yàn)課程體系，加強(qiáng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)實(shí)踐能力
挖掘課程內(nèi)容，建設(shè)完善的實(shí)驗(yàn)課程體系，實(shí)驗(yàn)課程的主要目的是，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、算法設(shè)計(jì)能力、編寫程序能力和應(yīng)用創(chuàng)新能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。學(xué)生可以有選擇地做。
(1)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)如表1所示，基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)一些離散數(shù)學(xué)基本問題，要求學(xué)生利用所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，完成相應(yīng)的算法設(shè)計(jì)和程序?qū)崿F(xiàn)。如在集合論部分，設(shè)計(jì)有限集基本運(yùn)算算法設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，要求學(xué)生利用熟悉的程序設(shè)計(jì)語言完成有限集合的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、集合間的交、并、差、迪卡爾積、子集判斷等基本運(yùn)算。學(xué)生可以在每部分中自由選部分題，完成一定的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)。這樣的設(shè)計(jì)使得學(xué)生學(xué)會(huì)基本操作，鞏固程序設(shè)計(jì)基本調(diào)試方法的掌握。
(2)綜合性實(shí)驗(yàn)如表2所示，設(shè)計(jì)一些比較復(fù)雜的離散數(shù)學(xué)問題，要求學(xué)生綜合運(yùn)用各章知識(shí)或多學(xué)科知識(shí)，完成問題的分解與求解、綜合和整體實(shí)現(xiàn)。例數(shù)理邏輯部分的命題真值表計(jì)算實(shí)驗(yàn)中，要求學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)命題數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、五種基本邏輯運(yùn)算的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)換、表達(dá)式求值等；學(xué)生需要綜合運(yùn)用命題邏輯、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等知識(shí)，完成實(shí)驗(yàn)各個(gè)環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果的顯示?？捎蓭讉€(gè)同學(xué)組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組完成實(shí)驗(yàn)。
(3)設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)如表3所示。這一層次要求較高，對(duì)那些學(xué)有余力、興趣濃厚的學(xué)生，給出一些難度較高的課題，要求他們自行設(shè)計(jì)問題描述模型和實(shí)驗(yàn)方案，開發(fā)實(shí)現(xiàn)小型應(yīng)用軟件。例如，要求學(xué)生針對(duì)某景區(qū)內(nèi)景點(diǎn)的分布情況，設(shè)計(jì)可滿足旅游者不同需求(如費(fèi)用最省、線路最短、重復(fù)較少、景點(diǎn)最全等各種要求)的實(shí)用小軟件。教師檢查實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。學(xué)生對(duì)實(shí)際程序的運(yùn)行結(jié)果應(yīng)能進(jìn)行分析并提出改進(jìn)方法，每完成一個(gè)實(shí)驗(yàn)，都要求寫一份實(shí)驗(yàn)報(bào)告，挑選出好的作品，做成精品演示系統(tǒng)。
3發(fā)現(xiàn)實(shí)際應(yīng)用點(diǎn)，擴(kuò)大學(xué)生知識(shí)面
讓學(xué)生了解離散數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的主要應(yīng)用，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)理論去分析問題、解決問題，從而讓學(xué)生充分感受到離散數(shù)學(xué)這門課程的魅力和實(shí)用價(jià)值。部分實(shí)際應(yīng)用如表3所示。鼓勵(lì)學(xué)生按照如下流程操作：發(fā)現(xiàn)問題，然后構(gòu)思一個(gè)可能求解該問題的算法過程，再設(shè)計(jì)算法并將其表達(dá)為一道可執(zhí)行程序，最后精確地評(píng)價(jià)這個(gè)程序，考查其作為一種工具去求解其它問題的潛能，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，提高分析問題，解決問題的能力。
4建設(shè)開放式教學(xué)環(huán)境，豐富網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源
充分利用網(wǎng)絡(luò)學(xué)堂、課程學(xué)習(xí)網(wǎng)站等豐富的教學(xué)資源，構(gòu)建了開放式的教學(xué)環(huán)境，我們開發(fā)了離散數(shù)學(xué)教學(xué)網(wǎng)站，模塊包括：實(shí)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)申請(qǐng)、已審核實(shí)驗(yàn)、成果展示、精品展示、在線解答(前臺(tái)如圖1所示，后臺(tái)如圖2所示)、資料下載等模塊，實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目可選或自擬，增強(qiáng)了師生間互動(dòng)，也為學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)提供了良好的條件。
學(xué)生可以在任何時(shí)間遠(yuǎn)程登陸，發(fā)表咨詢，下載資料，參與實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，申請(qǐng)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，獲得批準(zhǔn)后，我們開放實(shí)驗(yàn)室免費(fèi)提供設(shè)備，實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目結(jié)題后提交成果，我們從中提煉出精品，做成精品演示系統(tǒng)，學(xué)生還可以對(duì)已有成果做深入研究。
總之，鼓勵(lì)學(xué)生吃透書本，挖掘理論的應(yīng)用領(lǐng)域，鼓勵(lì)學(xué)生改進(jìn)算法、挖掘應(yīng)用點(diǎn)，從抽象的理論到實(shí)際應(yīng)用，再擴(kuò)大應(yīng)用，抽象到一般情況，讓學(xué)生感覺到學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的重要性，理論與實(shí)踐相結(jié)合，互相促進(jìn)，切實(shí)提高大家學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣，能夠達(dá)到學(xué)生積極主動(dòng)為了實(shí)現(xiàn)應(yīng)用而吃透理論，發(fā)揮主觀能動(dòng)性。采用項(xiàng)目訓(xùn)練為主的教學(xué)理念，切實(shí)提高學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力、創(chuàng)新能力和自學(xué)能力。
參考文獻(xiàn)：
[1]耿素云，屈婉玲.離散數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社.
1.1教學(xué)內(nèi)容改革
1.1.1精選部分章節(jié)詳細(xì)講解我認(rèn)為應(yīng)該詳細(xì)講述數(shù)理邏輯、集合論、圖論三大部分，數(shù)理邏輯部分主要講述命題邏輯推理的形式規(guī)則，學(xué)好此章節(jié)有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，此部分內(nèi)容廣泛應(yīng)用于人工智能之中，早期的智能系統(tǒng)主要應(yīng)用的是數(shù)理邏輯中的推理規(guī)則，將自然語言進(jìn)行符號(hào)化，而語言的符號(hào)化就是數(shù)理邏輯部分要研究的內(nèi)容。集合論中有一部分關(guān)于集合方面的知識(shí)，學(xué)生在高中的時(shí)候已經(jīng)接觸過，所以不用對(duì)此部分進(jìn)行深入教學(xué)，但是集合論中有一部分關(guān)于二元論的知識(shí)，二元論知識(shí)是數(shù)據(jù)庫知識(shí)的基礎(chǔ)，關(guān)系數(shù)據(jù)庫的邏輯結(jié)構(gòu)是由行和列構(gòu)成的二維表，表之間的操作需要用到離散數(shù)學(xué)中的笛卡爾積的知識(shí)。圖論是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的線性表、棧、隊(duì)列等都要用到圖論的知識(shí)，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的一些算法也會(huì)用到此部分的知識(shí)，如求最小生成樹，最短路程，二叉樹的遍歷等，同時(shí)圖論也可以應(yīng)用到計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，如求節(jié)點(diǎn)間最短路徑。所以我認(rèn)為應(yīng)在眾多的內(nèi)容之中，重點(diǎn)掌握這三部分知識(shí)，讓學(xué)生在短課時(shí)深入理解這三部分內(nèi)容。其余部分的內(nèi)容，如果學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)與研究中需要利用到離散數(shù)學(xué)中的知識(shí)，就可以再對(duì)其他部分的內(nèi)容進(jìn)行深入學(xué)習(xí)與研究。
1.2.2增加實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容目前大多數(shù)院校的離散數(shù)學(xué)教學(xué)都是采用純理論上課的形式，很少有實(shí)驗(yàn)部分，從而導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為此門課程無關(guān)緊要。為了改變學(xué)生的這種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，我認(rèn)為可以在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中增加實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。計(jì)算機(jī)專業(yè)的大一學(xué)生已經(jīng)開始學(xué)習(xí)C語言課程，有了一定的編程基礎(chǔ)，可以設(shè)計(jì)一些與離散數(shù)學(xué)有關(guān)的題讓學(xué)生進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)。命題邏輯部分涉及公式的判定類型，可以讓學(xué)生編寫程序?qū)崿F(xiàn)公式的判定算法；圖論中涉及最短路徑，可以讓學(xué)生編寫求帶權(quán)最短路徑算法；二元關(guān)系中關(guān)系的性質(zhì)具有自反、反自反、對(duì)稱、反對(duì)稱、傳遞五種關(guān)系，可以讓學(xué)生嘗試通過編程實(shí)現(xiàn)判定關(guān)系的算法。通過實(shí)驗(yàn)部分增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力，不但可以讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的內(nèi)容理解得更好，而且可以讓學(xué)生將理論與實(shí)踐相結(jié)合學(xué)有所用，更與我們?cè)盒３瘧?yīng)用型轉(zhuǎn)型相符合。
1.2教學(xué)方法改革
為了達(dá)到改變學(xué)生對(duì)待離散數(shù)學(xué)的錯(cuò)誤態(tài)度，培養(yǎng)出具有創(chuàng)新能力的學(xué)生，我認(rèn)為很有必要對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行改革，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，達(dá)到最終的教學(xué)目的。
1.2.1趣味教學(xué)教師是教學(xué)的主導(dǎo)者，對(duì)教學(xué)起著重要作用。由于離散數(shù)學(xué)是一門偏數(shù)學(xué)的教學(xué)，難免會(huì)有些枯燥，學(xué)生的興趣度不是很高，因此如果教師能在教學(xué)過程中做到幽默風(fēng)趣，給學(xué)生在傳授知識(shí)的同時(shí)，能夠把有些同生活密切相關(guān)的知識(shí)講得生動(dòng)具體形象，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。數(shù)理邏輯部分中的命題邏輯部分的知識(shí)就有很多和生活密切相關(guān)，在講課的時(shí)候，可以告訴學(xué)生，我們?cè)谏钪忻刻於紩?huì)涉及推理，我們判定他人講的話是真是假的過程，其實(shí)就是一個(gè)推理的過程。判定一個(gè)人是否成熟、講話是否經(jīng)過深思熟慮，也可以從他講話的嚴(yán)謹(jǐn)程度進(jìn)行判斷，這還是一個(gè)推理的過程。同時(shí)可以告訴學(xué)生邏輯推理在我們的公務(wù)員考試行政職業(yè)能力與測(cè)驗(yàn)中經(jīng)常要用到，如果有對(duì)考取公務(wù)員感興趣的同學(xué)能深入學(xué)習(xí)和理解這部分內(nèi)容，對(duì)邏輯推理部分有很大的幫助，從而提高學(xué)生對(duì)此門課程的關(guān)注度。教師在教學(xué)過程中應(yīng)該展現(xiàn)自己的個(gè)人魅力，讓學(xué)生喜愛教師的講話風(fēng)格、教態(tài)等，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
1.2.2板書與多媒體相結(jié)合目前高校教學(xué)普遍采用多媒體進(jìn)行教學(xué)，利用PPT教學(xué)可以節(jié)約板書時(shí)間，更高效地進(jìn)行教學(xué)，但是離散數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相比有自己的特點(diǎn)，定理多、概念多、推理多，如果完全采用多媒體教學(xué)，則學(xué)生難以跟上老師的思路。建議定理和推理采用板書形式，一步一步進(jìn)行演算，幫助學(xué)生理解。一些概念和定義采用多媒體教學(xué)，節(jié)約板書時(shí)間。同時(shí)對(duì)于一些難以理解的內(nèi)容如圖論中求最短路徑可以采用動(dòng)畫的形式進(jìn)行演示，使其更形象、具體，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。
1.3教學(xué)手段改革
鑒于離散數(shù)學(xué)課程不易理解、比較難學(xué)的特點(diǎn)，因此我們有必要改革教學(xué)手段，使得離散數(shù)學(xué)的教學(xué)更具體形象，讓學(xué)生更易理解所講內(nèi)容，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。當(dāng)今是互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，大家都可以利用網(wǎng)絡(luò)獲取信息資源。建設(shè)一個(gè)離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)網(wǎng)站，可以幫助學(xué)生利用課余時(shí)間學(xué)習(xí)。此網(wǎng)站可上傳教師的教學(xué)視頻，學(xué)生可以在課余時(shí)間根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行有針對(duì)性的學(xué)習(xí)，同時(shí)教師也可以將課后習(xí)題上傳到網(wǎng)站上供大家練習(xí)，管理員給每個(gè)學(xué)生分配一個(gè)賬號(hào)，讓學(xué)生進(jìn)行登錄觀看教學(xué)視頻、做習(xí)題、建立討論區(qū)共同學(xué)習(xí)探討，也可以在留言板上給教師留言，等待教師就相關(guān)問題作出回答。同時(shí)在網(wǎng)站上把離散數(shù)學(xué)中的一些比較經(jīng)典的算法和方法，鼓勵(lì)學(xué)生編程實(shí)現(xiàn)，學(xué)生可以上傳其實(shí)現(xiàn)的算法，供大家共同學(xué)習(xí)和探討，提高大家的動(dòng)手能力，這也是和目前院校轉(zhuǎn)型為應(yīng)用型本科是相符合的。通過網(wǎng)絡(luò)這樣一個(gè)平臺(tái)，在課余時(shí)間增加同學(xué)、師生之間的交流和互動(dòng)，帶動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)。
2結(jié)語
那么，學(xué)生在證題時(shí)到底是由哪些原因造成思維受阻，產(chǎn)生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點(diǎn)：
⑴不理解定理是進(jìn)行推理的依據(jù)。其實(shí)如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進(jìn)行分解，發(fā)現(xiàn)它的骨干是由一個(gè)一個(gè)定理組成的。而學(xué)生書寫的不完整、不嚴(yán)密，就因?yàn)槿狈?duì)定理必要的理解，不會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)，從而不能嚴(yán)謹(jǐn)推理，造成幾何定理無法具體運(yùn)用到習(xí)題中去。
⑵找不到運(yùn)用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對(duì)應(yīng)的基本圖形。具體表現(xiàn)在不熟悉圖形和定理之間的聯(lián)系，思考時(shí)把定理和圖形分割開來。對(duì)于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標(biāo)準(zhǔn)形），學(xué)生就難以思考。
⑶推理過程因果關(guān)系模糊不清。
針對(duì)以上的原因，我們?cè)诮虒W(xué)中采取了一些自救對(duì)策。
一、教學(xué)環(huán)節(jié)
對(duì)幾何定理的教學(xué)，我們?cè)诩兄v授時(shí)分5個(gè)環(huán)節(jié)。第1、2環(huán)節(jié)是理解定理的基本要求；第3環(huán)節(jié)是基本推理模式，第4環(huán)節(jié)是定理在推理過程中的呈現(xiàn)方式，提出了“模式＋定理”的書寫方法；第5環(huán)節(jié)是定理在解題分析時(shí)的導(dǎo)向作用，提出了“圖形＋定理”的思考方法。程序圖設(shè)計(jì)如下：
基本要求重新建立表象推理模式組合定理聯(lián)想定理
二、操作分析和說明
⒈定理的基本要求
我們認(rèn)為，能正確書寫證明過程的前提是學(xué)會(huì)對(duì)幾何定理的書寫，因?yàn)閹缀味ɡ淼姆?hào)語言是證明過程中的基本單位。因而在教學(xué)中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學(xué)生盡快熟悉每一個(gè)定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關(guān)的定理），集中展示給學(xué)生。
例如定理43：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。
一劃：就是找出定理的題設(shè)和結(jié)論，題設(shè)用直線，結(jié)論用波浪線，要求在劃時(shí)突出定理的本質(zhì)部分。
如：“直角三角形”和“高線”、“相似”。
二畫：就是依據(jù)定理的內(nèi)容，能畫出所對(duì)應(yīng)的基本圖形。
如：
三寫：就是在分清題設(shè)和結(jié)論的基礎(chǔ)上，能用符號(hào)語言表達(dá)，允許采用等同條件。
如：ABC是Rt，CDAB于D（條件也可寫成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)ACD∽BCD∽ABC。
學(xué)生在書寫時(shí)果然出現(xiàn)了一些問題：
①不理解每個(gè)定理的條件和結(jié)論。學(xué)生在書寫時(shí)往往漏掉條件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中線等）；對(duì)條件太簡單的不會(huì)寫（如定理3）；或者把條件當(dāng)成結(jié)論（如定理12把三線都當(dāng)成結(jié)論）。
②還表現(xiàn)在思維偏差。我們的要求是會(huì)用定理，而有些學(xué)生把定理重新證明一遍（如定理5、6）；或者在一個(gè)定理中出現(xiàn)××，又××，××的錯(cuò)誤。
③更多的是沒有抓住本質(zhì)。具體表現(xiàn)在把非本質(zhì)的條件當(dāng)成本質(zhì)條件（如定理7出現(xiàn)∠1和∠2是同位角，AB∥CD）；條件重復(fù)（如定理49，結(jié)論∠APO＝∠BPO已經(jīng)包括過圓心O，學(xué)生在條件中還加以說明）；圖形過于特殊（如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形）；文字過多（一些定理譯不出符號(hào)語言，用文字代替）等。
⒉重新建立表象
從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數(shù)學(xué)教師傳授知識(shí)的重要原則。“表象”就是人們對(duì)過去感知過的客觀世界中的對(duì)象或?qū)ο笤陬^腦中留下來的可以再現(xiàn)出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個(gè)定理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)圖形，這給我們?cè)诮虒W(xué)中提供了一定的便利。我們要求學(xué)生對(duì)定理的表象不能只停留在實(shí)體的形象上，而是讓學(xué)生有意識(shí)的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。我們認(rèn)為，這對(duì)于理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。
教給學(xué)生想形象的基本方法后，我們接下去的步驟是用實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生，下面是一段經(jīng)整理后的課堂教學(xué)主要內(nèi)容：
⑴問：聽了老師的介紹后，你怎樣回憶垂徑定理的形象？
答：垂徑定理我在想的時(shí)候，腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個(gè)直角”在一閃一閃的，以后看到弧相等或其他兩個(gè)條件之一，腦子里就會(huì)浮現(xiàn)出垂徑定理。
目的：建立單個(gè)定理的表象，要求能想到非標(biāo)準(zhǔn)圖形。
繼續(xù)問：看到弧相等，你們只想到了垂徑定理，其他的定理就沒有想起來嗎？
答：想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等……
甚至有學(xué)生想到了兩條平行弦……
目的：通過表象，進(jìn)行聯(lián)想，使學(xué)生理解定理間的聯(lián)系。
⑵問：從定理21開始，你能找出和它有聯(lián)系的定理嗎？
答：有定理22（擦短使平行直線變成線段），定理25（特殊化成菱形），定理27……
目的：一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等變化，加深定理間的聯(lián)系。
⑶下面的步驟，我們讓學(xué)生自主思考。學(xué)生在不斷嘗試的過程中，通過比較、分析、判斷，進(jìn)一步熟悉定理的三種語言、定理之間的聯(lián)系和區(qū)別。從學(xué)生思考的角度看，他們主要是在尋找基本圖形，由于定理之間有一定的聯(lián)系，在一個(gè)基本圖形中往往存在著另一個(gè)殘缺的基本圖形，所以學(xué)生大多通過連線、延長、作圓、平移、旋轉(zhuǎn)等手段，也有通過特殊化、找同結(jié)論等途徑把不同的定理聯(lián)系起來。
下面摘錄的是學(xué)生自主思考后，得到的富有創(chuàng)意性的結(jié)論。
①定理16（延長中線成矩形）定理24（作矩形的外接圓）定理34。
②定理51（一線過圓心，且兩線垂直）定理36（一線平移成切線）定理47、48（繞切點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）定理50。
③如下圖，把EF向下平移（或繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），使定理37和50聯(lián)系起來（有同結(jié)論∠α＝∠D）：
⒊推理模式
從學(xué)生各方面的反饋情況看，多數(shù)學(xué)生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復(fù)雜而又摸不定，往往聽課時(shí)知道該如何寫，而自己書寫時(shí)又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學(xué)生看得清而又摸得著呢？為此，我們?cè)诙酵评淼幕A(chǔ)上，經(jīng)過歸納整理，總結(jié)了三種基本推理模式。
具體教學(xué)分三個(gè)步驟實(shí)施：
⑴精心設(shè)計(jì)三個(gè)簡單的例題，讓學(xué)生歸納出三種基本推理模式。
①條件結(jié)論新結(jié)論（結(jié)論推新結(jié)論式）
②新結(jié)論（多個(gè)結(jié)論推新結(jié)論式）
③新結(jié)論（結(jié)論和條件推新結(jié)論式）
⑵通過已詳細(xì)書寫證明過程的題目讓學(xué)生識(shí)別不同的推理模式。
⑶通過具體習(xí)題，學(xué)生有意識(shí)、有預(yù)見性地練習(xí)書寫。
這一環(huán)節(jié)我們的目的是讓學(xué)生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時(shí)有一定的模式，有效地克服了學(xué)生書寫的盲目性。
但教學(xué)表明學(xué)生仍然出現(xiàn)不必要的跳步，這是什么原因呢？我們把它歸結(jié)為對(duì)推理的因果關(guān)系不明確、定理是推理的依據(jù)和單位不明白。因而我們根據(jù)需要，又設(shè)計(jì)了以下一個(gè)環(huán)節(jié)。
⒋組合定理
基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號(hào)語言。因而在這一環(huán)節(jié)，我們讓學(xué)生在證明的過程中找出單個(gè)定理的因果關(guān)系、多個(gè)定理的組合方式，然后由幾個(gè)定理組合后構(gòu)造圖形，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生“用定理”的意識(shí)。
下面通過一例來說明這一步驟的實(shí)施。
例1：已知如圖，四邊形ABCD外接O的半徑為5，對(duì)角線AC與BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求BAD的面積。（2001年嘉興市質(zhì)量評(píng)估卷六）
證明：連結(jié)OB，連結(jié)OA交BD于F。
學(xué)生從每一個(gè)推測(cè)符號(hào)中找出所對(duì)應(yīng)的定理和隱含的主要定理：
比例基本性質(zhì)S/AS/證相似相似三角形性質(zhì)垂徑定理勾股定理三角形面積公式
由于學(xué)生自己主動(dòng)找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實(shí)是由一個(gè)一個(gè)定理連結(jié)起來的，也讓學(xué)生體會(huì)到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴(yán)密的推理過程。此時(shí)，可順勢(shì)布置以下的任務(wù)：給出勾股定理，你能再結(jié)合一個(gè)或多個(gè)定理，構(gòu)造圖形，并編出證明題或計(jì)算題嗎？
實(shí)踐表明：經(jīng)過“模式＋定理”書寫方法的熏陶后，學(xué)生基本具備了完整書寫的意識(shí)。
⒌聯(lián)想定理
分析圖形是證明的基礎(chǔ)，幾何問題給出的圖形有時(shí)是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構(gòu)造出定理的基本圖形，為運(yùn)用定理解決問題創(chuàng)造條件。圖形固然可以引發(fā)聯(lián)想（這也是教師分析幾何證明題、學(xué)生證題的基本方法之一），但對(duì)于識(shí)圖或想象力較差的學(xué)生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在復(fù)雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側(cè)面，即證明題的“已知、求證”上給學(xué)生以支招，即由命題的題設(shè)、結(jié)論聯(lián)想某些定理，以配合圖形想象。
例：如圖，O1和O2相交于B、C兩點(diǎn)，AB是O1的直徑，AB、AC的延長線分別交O2于D、E，過B作O1的切線交AE于F。求證：BF∥DE。
討論此題時(shí)，啟發(fā)學(xué)生由題設(shè)中的“AB是O的直徑”聯(lián)想定理“直徑所對(duì)的圓周角是90°”，因而連結(jié)BC；“過B作O的切線交AE于F”聯(lián)想定理“切線的性質(zhì)”，得出∠ABF＝90°。從而構(gòu)造出基本圖形②③。
由命題的結(jié)論“BF∥DE”聯(lián)想起“同位角相等，兩直線平行”定理，構(gòu)造出基本圖形④。將上述基本圖形②③④的性質(zhì)結(jié)合在一起，學(xué)生就易于思考了。
這一環(huán)節(jié)我們的引導(dǎo)語有：“由已知中的哪一個(gè)條件，你能聯(lián)想起什么定理？”、“條件組合后能構(gòu)成哪個(gè)定理？”、“有無對(duì)應(yīng)的基本圖形？”、“能否構(gòu)造出基本圖形？”等。目的是讓學(xué)生樹立起“圖形＋定理”的思考方法，把以前的無意識(shí)思考變成有目的、有意識(shí)的思考。
三、幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)
復(fù)習(xí)的效果最終要體現(xiàn)在學(xué)生身上，只有通過學(xué)生的自身實(shí)踐和領(lǐng)悟才是最佳復(fù)習(xí)途徑，因此在復(fù)習(xí)時(shí)，我們始終堅(jiān)持主體性原則。在組織復(fù)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性：提出問題讓學(xué)生想，設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生做，方法和規(guī)律讓學(xué)生體會(huì)，創(chuàng)造性的解答共同完善。
“沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”（弗賴登塔爾）。我們認(rèn)為傳授方法或解答后讓學(xué)生進(jìn)行反思、領(lǐng)悟是很好的方法，所以我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)總留出足夠的時(shí)間來讓學(xué)生進(jìn)行反思，使學(xué)生盡快形成一種解題思路、書寫方法。
集中講授能使學(xué)生對(duì)幾何定理的應(yīng)用有一定的認(rèn)識(shí)，但如果不加以鞏固，也會(huì)造成遺忘。因而我們也堅(jiān)持了滲透性原則，在平時(shí)的解題分析中時(shí)常有意識(shí)地引導(dǎo)、反復(fù)滲透。
參考資料：
魯迅先生的《從百草園到三味書屋》，無論就課文的結(jié)構(gòu)安排，篇幅比例，還是思想立意，“百草園”和“三味書屋”二者的描寫比重，都有著嚴(yán)格均衡的對(duì)照作用。而且，作者寫百草園中的自然之美、自在之趣、自由之態(tài)，大多是為了襯托三味書屋中毫無生命力的封建啟蒙教育，借以表明作者嚴(yán)肅的批判態(tài)度，因此，從作家的創(chuàng)作意圖分析，全文的描寫重心在于“三味書屋”。
但是，由于當(dāng)代中學(xué)生和年輕的語文教師對(duì)舊式私塾教育方式與內(nèi)容的陌生，也由于魯迅對(duì)百草園景象與生活的依戀更容易引發(fā)中學(xué)生活潑的興致，因此，通常采用的教學(xué)安排都有重前輕后的偏向，即重點(diǎn)閱讀分析百草園一段的描寫，對(duì)三味書屋的重頭描寫則一帶而過，這種處理方法表面似乎突出了重點(diǎn)，但卻有避重就輕的偏向。
只要我們略微深入地想一下便不難發(fā)現(xiàn)，百草園一段中的景物描寫，表現(xiàn)的是一種直觀的感受，切近孩子的生活與心理，學(xué)生一讀便能理解，教師反復(fù)講解分析實(shí)在不很必要。作家對(duì)三味書屋內(nèi)毫無生氣的學(xué)習(xí)生活描寫，則并非單純的記實(shí)，而是作家內(nèi)心的獨(dú)特感受和批判態(tài)度的深刻表露。不突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，課文深刻的思想內(nèi)涵就無法講透。況且，魯迅先生行文中的批評(píng)態(tài)度表現(xiàn)得十分含蓄、深沉，其中也不乏幽默，最具“魯迅風(fēng)格”，如果不領(lǐng)會(huì)三味書屋一段的深刻描寫，抓住全文的對(duì)比和照應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而領(lǐng)悟魯迅散文獨(dú)特的批判精神和藝術(shù)風(fēng)格，那么勢(shì)必舍本逐末，降低了這篇精典散文在思想與知識(shí)兩個(gè)方面的教育功能。
要深入領(lǐng)會(huì)三味書屋一段描寫中所蘊(yùn)涵的豐富意味，教師需要了解以下知識(shí)，細(xì)致把握描寫中隱伏、照應(yīng)的多重細(xì)節(jié)聯(lián)系。
何為“三味”，古人有兩種說法：其一是前人對(duì)讀書感受的一種比喻，“讀經(jīng)味如稻粱，讀史味如肴饌，讀諸子百家味如醯醢，”三種體驗(yàn)合稱為“三味”。其二是借用佛教語言，“三味”即“三昧”，是梵文samadhi的音譯，原指誦讀佛經(jīng)、領(lǐng)悟經(jīng)義的三重境界：一為“定”，二為“正受”，三為“等持”，意思是說，誦經(jīng)之前要止息雜念，做到神思安定專注；領(lǐng)悟經(jīng)義態(tài)度必須端正，具有百般恭敬的虔誠；學(xué)習(xí)過程中要專心致志，保持始終如一的精神。隨著佛教思想與漢民族文化的融合，“三昧”逐漸引申為對(duì)事物本質(zhì)精神意義的概括，有“個(gè)中三昧”，“得其三昧”等說法，用來比喻領(lǐng)悟?qū)W問的精確與深刻。由此可知，私塾的主人壽鏡吾先生將私塾命名為“三味書屋”，本意是要?jiǎng)?chuàng)立一種最佳的教育境界。
但是，正如封建沒落時(shí)期的其他精神文化產(chǎn)品一樣，總是有著既相互包容、又互相對(duì)立、沖突的特征，書屋講壇的安排正隱含了這一特征：“中間掛著一塊匾道：三味書屋；匾下面是一幅畫，畫著一只很大的梅花鹿伏在古樹下，沒有孔子牌位”。魯迅先生為什么要憑空添一句“沒有孔子牌位”呢？從這個(gè)簡潔的暗示中，我們可以領(lǐng)悟到更深刻的意味。
作家對(duì)三味書屋的描寫，已經(jīng)不像描寫百草園那樣純粹用孩子的直觀方法了，而是介入了作為思想家的魯迅的文化審視，這種審視首先發(fā)現(xiàn)的是三味書屋中“名”與“實(shí)”的矛盾。匾上大書“三味”，有鮮明的佛教特色；畫中是“梅花鹿伏在古樹下”，有一種清空消遙的自然情趣，十足的道家風(fēng)味；可偏偏“沒有孔子牌位”，這對(duì)正統(tǒng)的儒家文化無疑是一種嘲諷，它暗示了晚清時(shí)期封建思想無法抗拒的衰落。
的確，在18世紀(jì)末期，封建思想的神圣地位不僅被帝國主義的堅(jiān)船利炮所動(dòng)搖，并且也由于自身教育的貧乏與空泛而無力振作。這種神圣與貧乏的強(qiáng)烈對(duì)照，表現(xiàn)了魯迅對(duì)封建教育制度的批判與諷刺。
書屋稱作“三味”，先生的外表也有三個(gè)特征：“他是一個(gè)高而瘦的老人，須發(fā)都花白了，還戴著大眼鏡”；先生的德行也有三個(gè)長處：“極方正，質(zhì)樸，博學(xué)”；他的教學(xué)安排每天都一樣：“早上讀書”，“正午習(xí)字”，“晚上對(duì)課”；教學(xué)過程也分為三步：“從三言到五言，終于到七言”……總之，作家對(duì)于書屋生活的每一個(gè)細(xì)節(jié)描寫，處處都與“三”字相照應(yīng)。連孩子們偷跑到園子里玩游戲也是三種玩法：有的“爬上花壇去折臘梅花”，有的“在地上或桂樹上尋蟬蛻”，還有的是“捉了蒼蠅喂螞蟻”。先生的教育方法也有三個(gè)招數(shù)：“他有一條戒尺，但不常用”；“也有罰跪的規(guī)則，但也不常用”；“普通總不過瞪幾眼，大聲道——‘讀書’！”。甚至連先生的教學(xué)用語也只記述了三句，一曰“不知道”！二曰“人都到哪里去了”！三曰“讀書”！如此而已，整個(gè)三味書屋中的一切，簡直如同一部固定僵化的《三字經(jīng)》！
作家不惜疊床架屋的關(guān)于“三”的排列，絕非無意中的巧合。筆者認(rèn)為，魯迅如此精心安排，其目的正是要揭示這樣的思想意義：三味書屋中僵化的教學(xué)程式、死板的教育方法、毫無用處而又不知所云的教學(xué)內(nèi)容，同孩子們來自百草園的自由天然的童趣反差太大，不可調(diào)和；孩子們對(duì)毫無生命力的封建教育，只能報(bào)之以無味的興趣，無聊的情緒，無盡的懷疑；而只有當(dāng)先生進(jìn)入“個(gè)中三昧”、得意忘形、忘記了身邊的孩子的時(shí)候，孩子們才能重歸于自由，恢復(fù)童心、童趣，做點(diǎn)于自己很相宜的事情：講講有趣的話語，畫幾張自己喜愛的畫片，做點(diǎn)自己需要的小交易。大約這才正是孩子們讀書生活中真正屬于自己的“個(gè)中三昧”吧！
在《從百草園到三味書屋》這篇課文中，對(duì)百草園的景物描寫是外在的，直觀的，是用童心直接感受的；對(duì)三味書屋的場(chǎng)面描寫和人物描寫則是內(nèi)在的，隱含的，是童心感悟與思想家的審視相交織的；百草園和三味書屋的對(duì)比是鮮明的，均衡的，是相輔相成的，教學(xué)中顧此失彼的方法是不可取的。
關(guān)鍵詞：思維三元理論、高中數(shù)學(xué)
隨著社會(huì)信息化的加速，復(fù)雜多變的社會(huì)對(duì)人的思維能力提出了更高的要求，給教育教學(xué)也提出了更大的挑戰(zhàn)。知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代強(qiáng)烈呼喚學(xué)校教育學(xué)科教學(xué)滲透思維能力的培養(yǎng)，然而學(xué)習(xí)和思維不是彼此獨(dú)立的，而是緊密聯(lián)系在一起的。學(xué)生應(yīng)該在思維活動(dòng)中學(xué)習(xí)，并且也學(xué)習(xí)思維本身。斯騰伯格的思維三元理論為教學(xué)提供了新的理論基礎(chǔ)。
一、斯騰伯格的思維三元理論
思維三元理論是美國耶魯大學(xué)教授斯騰伯格提出的，根據(jù)思維三元理論，思維可以劃分為三個(gè)層面：分析性思維、創(chuàng)造性思維和實(shí)用性思維。分析性思維涉及分析、判斷、評(píng)價(jià)、比較、對(duì)比和檢驗(yàn)等能力，創(chuàng)造性思維包含創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)、生成、想象和假設(shè)等能力，實(shí)用性思維涵蓋實(shí)踐、使用、運(yùn)用和實(shí)現(xiàn)等能力。這三種思維能力對(duì)于所有人來說都很重要，其實(shí)，每個(gè)人的思維都是分析性、創(chuàng)造性和實(shí)用性思維按不同比例合成的產(chǎn)物。擅長于分析性思維的人善于解決熟悉的問題，通常是學(xué)術(shù)性問題；強(qiáng)于創(chuàng)造性思維的人善于解決相對(duì)新奇的問題，善于提出自己的見解，采用獨(dú)特的策略解決問題；長于實(shí)用性思維的人則善于解決日常生活中的問題，能夠很好地適應(yīng)社會(huì)和工作的要求。我們的教育需要培養(yǎng)具備三種思維模式的綜合思維的人才，而不是僅僅重視其中某一種。當(dāng)然，對(duì)于最具智慧的人，并不需要在這三種類型的思維模式上都具有非常高的水平。真實(shí)生活中的聰明意味著能夠最大限度利用自己所擁有的資源，而不是必須符合其他任何人對(duì)聰明所抱有的刻板定義。
思維三元理論不同于傳統(tǒng)智力理論，傳統(tǒng)智力理論側(cè)重于學(xué)業(yè)智力的發(fā)展，重視分析性思維，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)校中的智力發(fā)展和成績表現(xiàn)，而思維三元理論不僅強(qiáng)調(diào)IQ式的智力，同時(shí)強(qiáng)調(diào)情境性智力，情境性智力指個(gè)體在現(xiàn)實(shí)生活中，有效地適應(yīng)環(huán)境、改造環(huán)境并從中獲得有用資源的能力。思維三元理論認(rèn)為脫離情境考察智力是不正確的，有時(shí)會(huì)的出極端錯(cuò)誤的結(jié)論，在現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)用性思維能力非常重要，但在學(xué)校中卻得不到充分的重視。因此思維三元理論強(qiáng)調(diào)分析性思維、創(chuàng)造性思維和實(shí)用性思維協(xié)調(diào)發(fā)展，健全人格完善智力。
思維三元理論也不同于多重智力理論。加德納的多重智力理論詳細(xì)闡述了天賦的領(lǐng)域，而且在應(yīng)用上，多重智力理論強(qiáng)調(diào)這些領(lǐng)域（如音樂的和身體動(dòng)覺的）應(yīng)該融入學(xué)校課程；而思維三元理論詳細(xì)闡述了人類知識(shí)的用途，即為了分析的、創(chuàng)造的或?qū)嵱玫哪康?，思維三元理論可以應(yīng)用在所有的學(xué)科和領(lǐng)域。當(dāng)然，這兩大理論也并不抵觸，兩者往往被結(jié)合起來研究。
二、應(yīng)用思維三元理論進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性
1、傳統(tǒng)智力理論下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀
首先，傳統(tǒng)智力理論內(nèi)涵過于狹窄，把智力局限于學(xué)業(yè)智力，把思維局限于分析性思維，同時(shí)傳統(tǒng)教育理念下把數(shù)學(xué)視為培養(yǎng)邏輯思維能力的工具性學(xué)科，忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值和美學(xué)價(jià)值。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)與評(píng)價(jià)包括考試，側(cè)重于分析性思維能力培養(yǎng)及測(cè)試，一定程度上忽略了對(duì)實(shí)際工作也同樣需要甚至更需要的創(chuàng)造性思維能力與應(yīng)用性思維能力。其次，傳統(tǒng)智力理論下數(shù)學(xué)教學(xué)忽略了數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。數(shù)學(xué)跟現(xiàn)實(shí)不在于空間上的距離，更在乎教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式上的距離。比如，數(shù)學(xué)教學(xué)中的題目是結(jié)構(gòu)良好的問題，而實(shí)際工作生活中真正的問題大多是結(jié)構(gòu)不良的問題。所謂結(jié)構(gòu)良好的問題，就是可以清晰而具體地列出一步步的解決方案，而在現(xiàn)實(shí)生活中，結(jié)構(gòu)不良的問題則是無法列出這些具體步驟的，解題條件是復(fù)雜的，答案未必是唯一的。一個(gè)人適應(yīng)解決結(jié)構(gòu)良好的問題，未必適應(yīng)解決實(shí)際生活中結(jié)構(gòu)不良的問題。
可見，傳統(tǒng)智力理論下的數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀總的缺陷就在于缺乏對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，特別忽視思維能力的平衡性。分析性思維能力、創(chuàng)造性思維能力和應(yīng)用性思維能力各有各的用處，不能相互替代，卻可相互促進(jìn)。每個(gè)人所具有的這三種能力是不一樣的，有人強(qiáng)于分析性思維能力，弱于創(chuàng)造性思維能力或應(yīng)用性思維能力，有人卻相反。過分關(guān)注分析性思維能力的培養(yǎng)和評(píng)價(jià)，而忽略創(chuàng)造性思維能力和應(yīng)用企思維能力的培養(yǎng)和評(píng)價(jià)，造成分析性思維能力強(qiáng)而創(chuàng)造性思維能力或應(yīng)用性思維能力弱的學(xué)生在學(xué)校中得寵而在實(shí)際生活中失寵，創(chuàng)造性思維能力強(qiáng)或應(yīng)用性思維能力強(qiáng)而分折性思維能力弱的學(xué)生在學(xué)校中失寵而在社會(huì)上出類拔萃，這樣的現(xiàn)象就不難理解了。
2、高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的要求
高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求教師注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)思維能力在形成學(xué)生的理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用，而理性思維能力恰是一個(gè)生活在信息時(shí)代的現(xiàn)代人所必須具備的素質(zhì)之一。因此在教學(xué)中應(yīng)該體現(xiàn)“以學(xué)生為本”“貼近生活實(shí)際”的現(xiàn)實(shí)要求，努力實(shí)現(xiàn)“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”“人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。
“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”是指作為教育內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)是適合學(xué)生在有限的學(xué)習(xí)時(shí)間里接觸、了解和掌握的數(shù)學(xué)。有價(jià)值的數(shù)學(xué)應(yīng)滿足素質(zhì)教育的要求；應(yīng)有助于健全人格的發(fā)展；應(yīng)對(duì)未來學(xué)生從事任何事業(yè)都有用?！叭巳硕寄塬@得必需的數(shù)學(xué)”是指作為教育內(nèi)容的數(shù)學(xué)，首先要滿足學(xué)生未來社會(huì)生活的需要，這樣的數(shù)學(xué)無論是出發(fā)點(diǎn)和歸宿都要與學(xué)生息息相關(guān)的現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系在一起?！安煌娜嗽跀?shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”指每個(gè)學(xué)生都有豐富的知識(shí)和生活積累，每個(gè)學(xué)生都會(huì)有各自的思維方式和解決問題的策略，每個(gè)學(xué)生在思維教學(xué)中在三種思維能力上能夠得到不同程度的發(fā)展。
三、數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用思維三元理論的實(shí)踐
1、數(shù)學(xué)思維技巧的培養(yǎng)
根據(jù)思維三元理論，每種思維都是不可或缺的，因此在教學(xué)中必須使學(xué)生的思維獲得全面的發(fā)展。當(dāng)教學(xué)和評(píng)價(jià)著重分析性能力時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生比較和對(duì)比，分析，評(píng)價(jià)，批評(píng)，問題為什么，解釋為什么，解釋起因，或者評(píng)價(jià)假設(shè)。當(dāng)教學(xué)和評(píng)價(jià)強(qiáng)調(diào)創(chuàng)造性能力時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造，發(fā)明，想象，設(shè)計(jì)，展示，假設(shè)或預(yù)測(cè)。當(dāng)教學(xué)和評(píng)價(jià)強(qiáng)調(diào)實(shí)用性能力時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用，使用工具，實(shí)踐，運(yùn)用，展示在真實(shí)世界中的情形。但不管三種思維過程如何高級(jí)和復(fù)雜，其背后的思維技巧只有一套。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中無論采用何種教學(xué)策略，都必須從七個(gè)學(xué)習(xí)技巧方面培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
一是問題的確定，在這個(gè)階段在這個(gè)階段，不僅要確定問題的存在，還要定義這個(gè)問題到底是什么。數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，答錯(cuò)的學(xué)生經(jīng)常是因?yàn)樗麄兇_定的問題并不是題目中所包含的問題，而干擾選項(xiàng)卻是這些錯(cuò)誤問題的正確答案，于是他們按自己界定的問題選擇了這些選項(xiàng)，于是答錯(cuò)了題目。二是程序的選擇，要想順利地解決一個(gè)問題，必須選擇或找出一套適當(dāng)?shù)某绦?。學(xué)生首先必須確定從哪些地方可能找到與主題有關(guān)的信息，并排除那些無關(guān)的信息，再分析各種信息的可信度等。學(xué)生為了解答測(cè)驗(yàn)問題，必須選擇恰當(dāng)?shù)牟襟E，以便最終得出正確的答案。三是信息的表征，運(yùn)用智力解決問題的時(shí)候，個(gè)體必須把信息表述為有意義的形式，這種表述可以是內(nèi)部的（在頭腦中），也可以是外部（以書面的形式呈現(xiàn)）。如果對(duì)信息進(jìn)行了有效的外部表征，經(jīng)常會(huì)提高問題的解決速度，比如在解數(shù)學(xué)題時(shí)畫圖，僅用符號(hào)是無法做到這一點(diǎn)的。四是策略的形成，在選擇程序和表征信息的過程中，必須同時(shí)形成一些策略，策略按照信息進(jìn)行表征的先后，把一個(gè)個(gè)程序按順序排列起來，形成步驟。如果步驟缺乏效率，那么不僅浪費(fèi)時(shí)間和精力，還會(huì)影響最終的成果。在數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，運(yùn)用普通的策略也可以解決這些問題，但花的時(shí)間就長了，要是稍微馬虎一點(diǎn)，最后是對(duì)是錯(cuò)還說不定。聰明的學(xué)生會(huì)用一些創(chuàng)新性的策略來解決這些問題，但要找到這些創(chuàng)新性策略，考生必須花很多時(shí)間在策略的選擇上，而不是腦子里冒出一個(gè)策略，就盲目地采納這個(gè)策略開始答題。五是資源的分配，在實(shí)際解決問題時(shí)，時(shí)間與資源都是有限的。執(zhí)行任務(wù)時(shí)，最重要的決策就是決定如何恰到好處地把時(shí)間分配給各個(gè)部分。時(shí)間分配得不合理，本來會(huì)很優(yōu)秀的成果最終會(huì)變的平淡無奇。六是問題解決的監(jiān)控，解決問題的進(jìn)程中，我們必須隨時(shí)留意：已經(jīng)完成了什么、正在做什么和還有什么沒做。七是問題解決的評(píng)價(jià)，它包括能夠覺察反饋，并且把反饋轉(zhuǎn)化為實(shí)際行動(dòng)。在執(zhí)行任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到各種來源的反饋，包括內(nèi)部的個(gè)體的主觀感受和外部的他們的看法。能覺察反饋，個(gè)體才有改進(jìn)其工作和學(xué)習(xí)的可能。
2、創(chuàng)設(shè)情境，在用中學(xué)，學(xué)以致用
思維三元理論非常重視情境的作用，強(qiáng)調(diào)在情境中培養(yǎng)思維，特別是創(chuàng)造性思維和實(shí)用性思維。促進(jìn)思維的教學(xué)策略有很多種，可以采用照本宣科策略，或采取以事實(shí)為基礎(chǔ)的問答策略，或采用最適合培養(yǎng)思維的對(duì)話策略。這些教學(xué)策略適合不同的教學(xué)內(nèi)容、不同風(fēng)格的教師和不同的學(xué)生，只要適當(dāng)，每一種策略都是教學(xué)的好方法。但有一點(diǎn)不可忽視，培養(yǎng)思維最好的策略必然是創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生深入現(xiàn)實(shí)的問題中學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)邏輯思維能力和提出自己獨(dú)特的見解，能夠自如地解決生活中的問題。在用中學(xué)，學(xué)以致用，這是思維教學(xué)的一大目的，也是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一大宗旨。
（1）創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)應(yīng)用之間的關(guān)系，解決數(shù)學(xué)在哪里，數(shù)學(xué)是什么，數(shù)學(xué)有啥用的問題。數(shù)學(xué)內(nèi)容通過問題情景引入，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，使數(shù)學(xué)的運(yùn)用，從傳統(tǒng)上數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的終端，一下子置換到了起點(diǎn)。以前是把知識(shí)學(xué)完了再應(yīng)用，現(xiàn)在是通過用來學(xué)、在解決問題的過程中學(xué)。創(chuàng)設(shè)情境，同時(shí)也促進(jìn)了社會(huì)發(fā)展與數(shù)學(xué)課程之間、現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)展與數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系及相互影響。
離散數(shù)學(xué)課程中要點(diǎn)的離散性、知識(shí)點(diǎn)的分散性和探討問題的特殊性，使相當(dāng)大的一部分學(xué)生在剛剛接觸該類課程時(shí)，對(duì)其中涉及到的一些概念和處理問題的方法往往感到疑惑.若僅僅采用傳統(tǒng)的理論教學(xué)方法，會(huì)造成學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)興趣不高，將會(huì)極大的影響教學(xué)效果。為此，在離散數(shù)學(xué)課程中運(yùn)用復(fù)雜系統(tǒng)模型相關(guān)知識(shí)，實(shí)施系統(tǒng)化教學(xué)，以系統(tǒng)觀、大局觀、創(chuàng)新思維和綜合能力的培養(yǎng)為目標(biāo)實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，將有助于學(xué)生掌握好該類課程.
2、復(fù)雜系統(tǒng)基本特征
近幾十年來，以具體應(yīng)用的系統(tǒng)工程開始，逐步發(fā)展了一門新的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)---系統(tǒng)科學(xué)。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，根據(jù)組成子系統(tǒng)以及子系統(tǒng)種類的多少和它們之間的關(guān)聯(lián)復(fù)雜程度，可分為簡單系統(tǒng)、簡單巨系統(tǒng)和復(fù)雜巨系統(tǒng)。其中，子系統(tǒng)種類很多并有層次結(jié)構(gòu)，且關(guān)聯(lián)關(guān)系很復(fù)雜的，稱為開放的復(fù)雜巨系統(tǒng)（或簡稱復(fù)雜系統(tǒng)）。
雖然目前關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)與定義尚未統(tǒng)一，但是對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的基本特征的認(rèn)識(shí)卻比較一致.一般認(rèn)為復(fù)雜系統(tǒng)具有以下特征：
（1） 自適應(yīng)性/自組織性（self-adaptive/ self- organi-zation）。
（2） 不確定性（uncertainty）。
（3） 涌現(xiàn)性（emergence）。
（4） 預(yù)決性（Finality）。
（5） 演化（Evolution）。
（6）開放性（opening）。
3、離散數(shù)學(xué)課程中的知識(shí)關(guān)系
對(duì)于以有限或可數(shù)個(gè)元素為研究對(duì)象的離散數(shù)學(xué)課程而言，它以研究離散量的結(jié)構(gòu)、離散數(shù)據(jù)模型以及它們之間的相互關(guān)系為主要目標(biāo).計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中的許多離散量模型，需要采用離散數(shù)學(xué)所涉及的內(nèi)容、方法以及理論做出深入的描述和優(yōu)化處理.
同時(shí)，離散數(shù)學(xué)課程中所涉及到的的知識(shí)要點(diǎn)體系，有助于學(xué)生概括抽象能力、邏輯思維能力以及歸納構(gòu)造能力的提高，強(qiáng)有益于學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)、完整、規(guī)范的科學(xué)態(tài)度的培養(yǎng).離散數(shù)學(xué)課程所包含的多個(gè)要點(diǎn)分支，如邏輯推理、集合關(guān)系論、圖論、代數(shù)系統(tǒng)等，都與計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的后續(xù)核心專業(yè)課程有緊密的關(guān)系。表 1給出了離散數(shù)學(xué)課程同計(jì)算機(jī)專業(yè)后續(xù)課程相關(guān)核心知識(shí)要點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
由于離散數(shù)學(xué)課程分類為四大模塊，模塊之間的知識(shí)點(diǎn)分散，有的模塊理論性強(qiáng)且高度抽象如代數(shù)系統(tǒng)模塊，若僅僅采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法來完成教學(xué)任務(wù)，學(xué)生將難于理解和掌握，不能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.為此，在傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中引入一些經(jīng)典有意義的復(fù)雜系統(tǒng)相關(guān)知識(shí)模型，用系統(tǒng)的方法實(shí)施教學(xué)，既可達(dá)到對(duì)離散數(shù)學(xué)的基本理論作驗(yàn)證的目標(biāo)，也有助于鞏固先導(dǎo)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)實(shí)現(xiàn)為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)的目的。此法，不僅能夠有效的激發(fā)學(xué)生對(duì)該類課程學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)新能力。同時(shí)也可以達(dá)到鍛煉學(xué)生的大局觀、系統(tǒng)觀分析解決實(shí)際問題的目標(biāo).
4、離散數(shù)學(xué)課堂融入系統(tǒng)理論模型的過程分析
（1）天氣預(yù)報(bào)、大氣模型成因等系統(tǒng)模型在邏輯推理相關(guān)模塊中的作用分析.
若單純采用傳統(tǒng)的教學(xué)手段，講解邏輯推理相關(guān)知識(shí)模塊，很難達(dá)到理想的教學(xué)效果.為此，在實(shí)際的教學(xué)過程中我們結(jié)合采用倒推式系統(tǒng)模型，如大氣成因模型、天氣預(yù)報(bào)模型，將有效結(jié)論作為推理問題處理的核心要點(diǎn)，進(jìn)而拋出范式問題求解的必要性，最后引出命題公式中的一系列零碎知識(shí)要點(diǎn).法此，可快速有效的將命題邏輯相關(guān)問題掌握。
（2）百度推廣公交換乘等系統(tǒng)模型在集合關(guān)系模塊中的作用分析。
關(guān)系的本質(zhì)是集合，關(guān)系問題講解的要點(diǎn)及學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，在于關(guān)系性質(zhì)的判斷以及關(guān)系閉包問題的求解，而關(guān)系的傳遞性以及傳遞閉包問題講解的一大突破口在于掌握好關(guān)系的冪運(yùn)算，有效采用百度推廣公交換乘等系統(tǒng)模型，講實(shí)關(guān)系運(yùn)算中的合成運(yùn)算，可以有效突破關(guān)系的冪運(yùn)算，進(jìn)而解決關(guān)系的傳遞性及傳遞閉包這一教學(xué)難點(diǎn)。
（3）信息安全群論模型系統(tǒng)在代數(shù)系統(tǒng)教學(xué)中的應(yīng)用分析.
通信過程中錯(cuò)誤不可避免，快速的發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并及時(shí)的改正錯(cuò)誤，是一急需解決的問題。良好的代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以提供這一問題的解決方案。因此，在代數(shù)系統(tǒng)相關(guān)內(nèi)容的講解過程中，及時(shí)將典型的代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，以安全系統(tǒng)模型為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生有效地掌握好該模塊知識(shí)點(diǎn)起到良好的促進(jìn)作用.
（4）動(dòng)態(tài)規(guī)劃圖模型在圖論教學(xué)中分析。
馬航客機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃搜索方案、房屋中介買賣關(guān)系中的二部圖背景，為在圖模塊中采用系統(tǒng)教學(xué)提供了真摯而有效的應(yīng)用案例。在圖論相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，系統(tǒng)方法也為學(xué)生提供了探索、解決身邊新問題的機(jī)會(huì)。
