時間：2022-07-08 07:52:01
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導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
第八講
導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
2019年
1.（2019全國Ⅲ文20）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)0
2.（2019北京文20）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時，求證：；
（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時，求a的值．
3.（2019江蘇19）設(shè)函數(shù)、為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；
（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．
4.（2019全國Ⅰ文20）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f
′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）證明：f
′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
5.（2019全國Ⅰ文20）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f
′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）證明：f
′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
6.（2019全國Ⅱ文21）已知函數(shù).證明：
（1）存在唯一的極值點(diǎn)；
（2）有且僅有兩個實(shí)根，且兩個實(shí)根互為倒數(shù).
7.（2019天津文20）設(shè)函數(shù)，其中.
（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，
（i）證明恰有兩個零點(diǎn)
（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.
8.（2019浙江22）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意均有
求的取值范圍.
注：e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).
2010-2018年
一、選擇題
1．（2017新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)，則
A．在單調(diào)遞增
B．在單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線對稱
D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱
2．（2017浙江）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是
A．
B．
C．
D．
3．（2016年全國I卷）若函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
4．（2016年四川）已知為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則
A．4
B．2
C．4
D．2
5．（2014新課標(biāo)2）若函數(shù)在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，則的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
6．（2014新課標(biāo)2）設(shè)函數(shù)．若存在的極值點(diǎn)滿足
，則的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
7．（2014遼寧）當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
8．（2014湖南）若，則
A．
B．
C．
D．
9．（2014江西）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與
的圖像不可能的是
10．（2013新課標(biāo)2）已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是
A．
B．函數(shù)的圖像是中心對稱圖形
C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間單調(diào)遞減
D．若是的極值點(diǎn)，則
11．（2013四川）設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）．若存在使成立，則的取值范圍是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2013福建）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，是的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是
A．
B．是的極小值點(diǎn)
C．是的極小值點(diǎn)
D．是的極小值點(diǎn)
13．（2012遼寧）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．
[1,+)
D．(0,+)
14．（2012陜西）設(shè)函數(shù)，則
A．為的極大值點(diǎn)
B．為的極小值點(diǎn)
C．為的極大值點(diǎn)
D．為的極小值點(diǎn)
15．（2011福建）若，，且函數(shù)在處有極值，則的最大值等于
A．2
B．3
C．6
D．9
16．（2011浙江）設(shè)函數(shù)，若為函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為的圖象是
A
B
C
D
17．（2011湖南）設(shè)直線
與函數(shù)，
的圖像分別交于點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小時的值為
A．1
B．
C．
D．
二、填空題
18．（2016年天津）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為____.
19．（2015四川）已知函數(shù)，(其中)．對于不相等的實(shí)數(shù)，設(shè)＝，＝．現(xiàn)有如下命題：
①對于任意不相等的實(shí)數(shù)，都有；
②對于任意的及任意不相等的實(shí)數(shù)，都有；
③對于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得；
④對于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得．
其中真命題有___________(寫出所有真命題的序號)．
20．（2011廣東）函數(shù)在=______處取得極小值．
三、解答題
21．（2018全國卷Ⅰ）已知函數(shù)．
(1)設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：當(dāng)時，．
22．（2018浙江）已知函數(shù)．
(1)若在，()處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；
(2)若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)．
23．（2018全國卷Ⅱ）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：只有一個零點(diǎn)．
24．（2018北京）設(shè)函數(shù)．
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求；
(2)若在處取得極小值，求的取值范圍．
25．（2018全國卷Ⅲ）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：當(dāng)時，．
26．（2018江蘇）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點(diǎn)”．
(1)證明：函數(shù)與不存在“點(diǎn)”；
(2)若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；
(3)已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”，并說明理由．
27．（2018天津）設(shè)函數(shù)，其中，且是公差為的等差數(shù)列．
(1)若
求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，求的極值；
(3)若曲線與直線有三個互異的公共點(diǎn)，求d的取值范圍．
28．（2017新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍．
29．（2017新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求的取值范圍．
30．（2017新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，證明．
31．（2017天津）設(shè)，．已知函數(shù)，
．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，
（i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0；
（ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．
32．（2017浙江）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的導(dǎo)函數(shù)；
（Ⅱ）求在區(qū)間上的取值范圍．
33．（2017江蘇）已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)
的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)．（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）
（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（2）證明：；
34．（2016年全國I卷）已知函數(shù).
(I)討論的單調(diào)性；
(II)若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.
35．（2016年全國II卷）已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(Ⅱ)若當(dāng)時，，求的取值范圍.
36．（2016年全國III卷）設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明當(dāng)時，；
（III）設(shè)，證明當(dāng)時，．
37．（2015新課標(biāo)2）已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍．
38．（2015新課標(biāo)1）設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時．
39．（2014新課標(biāo)2）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)（0，2）處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時，曲線與直線只有一個交點(diǎn)．
40．(2014山東）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)，求的取值范圍．
41．（2014新課標(biāo)1）設(shè)函數(shù)，
曲線處的切線斜率為0
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若存在使得，求的取值范圍．
42．（2014山東）設(shè)函數(shù)
，其中為常數(shù)．
（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性．
43．(2014廣東)
已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時，試討論是否存在，使得．
44．(2014江蘇)已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：是R上的偶函數(shù)；
（Ⅱ）若關(guān)于的不等式≤在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）已知正數(shù)滿足：存在，使得成立．試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．
45．（2013新課標(biāo)1）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線方程為．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）討論的單調(diào)性，并求的極大值．
46．（2013新課標(biāo)2）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的極小值和極大值；
（Ⅱ）當(dāng)曲線的切線的斜率為負(fù)數(shù)時，求在軸上截距的取值范圍．
47．（2013福建）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值；
（Ⅲ）當(dāng)?shù)闹禃r，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值．
48．(2013天津)已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）
證明：對任意的，存在唯一的，使．
（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中所確定的關(guān)于的函數(shù)為，
證明：當(dāng)時，有．
49．（2013江蘇）設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；
（Ⅱ）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論．
50．（2012新課標(biāo)）設(shè)函數(shù)f(x)=－ax－2
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）若，為整數(shù)，且當(dāng)時，，求的最大值
51．（2012安徽）設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）求在內(nèi)的最小值；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)的切線方程為；求的值。
52．（2012山東）已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)，其中是的導(dǎo)數(shù)．
證明：對任意的，．
53．（2011新課標(biāo)）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)，且時，．
54．（2011浙江）設(shè)函數(shù)，
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求所有實(shí)數(shù)，使對恒成立．
注：為自然對數(shù)的底數(shù)．
55．（2011福建）已知，為常數(shù)，且，函數(shù)，（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)時，是否同時存在實(shí)數(shù)和()，使得對每一個∈，直線與曲線（∈[，e]）都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)和最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說明理由．
56．（2010新課標(biāo)）設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）若=，求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)≥0時≥0，求的取值范圍．
專題三
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
第八講
導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
答案部分
2019年
1.解析（1）．
令，得x=0或.
若a>0，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若a=0，在單調(diào)遞增；
若a
（2）當(dāng)時，由（1）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在[0,1]的最小值為，最大值為或.于是
，
所以
當(dāng)時，可知單調(diào)遞減，所以的取值范圍是.
當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以的取值范圍是.
綜上，的取值范圍是.
2.解析（Ⅰ）由得．
令，即，得或．
又，，
所以曲線的斜率為1的切線方程是與，
即與．
（Ⅱ）要證，即證，令．
由得．
令得或．
在區(qū)間上的情況如下：
所以的最小值為，最大值為．
故，即．
（Ⅲ），由（Ⅱ）知，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
綜上，當(dāng)最小時，．
3.解析（1）因?yàn)?，所以?/p>
因?yàn)?，所以，解得?/p>
（2）因?yàn)椋?/p>
所以，
從而．令，得或．
因?yàn)槎荚诩现?，且?/p>
所以．
此時，．
令，得或．列表如下：
1
+
–
+
極大值
極小值
所以的極小值為．
（3）因?yàn)?，所以?/p>
．
因?yàn)?，所以?/p>
則有2個不同的零點(diǎn)，設(shè)為．
由，得．
列表如下：
+
–
+
極大值
極小值
所以的極大值．
解法一：
．因此．
解法二：因?yàn)椋裕?/p>
當(dāng)時，．
令，則．
令，得．列表如下：
+
–
極大值
所以當(dāng)時，取得極大值，且是最大值，故．
所以當(dāng)時，，因此．
4.解析
（1）設(shè)，則.
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
又，故在存在唯一零點(diǎn).
所以在存在唯一零點(diǎn).
（2）由題設(shè)知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一個零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
又，所以，當(dāng)時，.
又當(dāng)時，ax≤0，故.
因此，a的取值范圍是.
5.解析
（1）設(shè)，則.
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
又，故在存在唯一零點(diǎn).
所以在存在唯一零點(diǎn).
（2）由題設(shè)知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一個零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
又，所以，當(dāng)時，.
又當(dāng)時，ax≤0，故.
因此，a的取值范圍是.
6.解析（1）的定義域?yàn)椋?，+）.
.
因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，又，
，故存在唯一，使得.
又當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
因此，存在唯一的極值點(diǎn).
（2）由（1）知，又，所以在內(nèi)存在唯一根.
由得.
又，故是在的唯一根.
綜上，有且僅有兩個實(shí)根，且兩個實(shí)根互為倒數(shù).
7.解析（Ⅰ）由已知，的定義域?yàn)?，?/p>
，
因此當(dāng)時，
，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知.令，由，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且
.
故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則.
當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn).
令，則當(dāng)時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時，
，所以.
從而，
又因?yàn)?，所以在?nèi)有唯一零點(diǎn).又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn).
（ii）由題意，即，從而，即.因?yàn)楫?dāng)時，
，又，故，兩邊取對數(shù)，得，于是
，
整理得.
8.解析（Ⅰ）當(dāng)時，．
，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，3），單調(diào)遞增區(qū)間為（3，+）．
（Ⅱ）由，得．
當(dāng)時，等價于．
令，則．
設(shè)
，則
．
（i）當(dāng)
時，，則
．
記，則
.
故
1
+
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以，
．
因此，．
（ii）當(dāng)時，．
令
，則，
故在上單調(diào)遞增，所以．
由（i）得．
所以，．
因此．
由（i）（ii）得對任意，，
即對任意，均有．
綜上所述，所求a的取值范圍是．
2010-2018年
1．C【解析】由，知，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，排除A、B；又，
所以的圖象關(guān)于對稱，C正確．
2．D【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，的單調(diào)性是減增減增，排除
A、C；由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，的極值點(diǎn)一負(fù)兩正，所以D符合，選D．
3．C【解析】函數(shù)在單調(diào)遞增，
等價于
在恒成立．
設(shè)，則在恒成立，
所以，解得．故選C．
4．D【解析】因?yàn)椋?，，?dāng)
時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以．故選D．
5．D【解析】，，在（1，+）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)
時，恒成立，即在（1，+）上恒成立，
，，所以，故選D．
6．C【解析】由正弦型函數(shù)的圖象可知：的極值點(diǎn)滿足，
則，從而得．所以不等式
，即為，變形得，其中．由題意，存在整數(shù)使得不等式成立．當(dāng)且時，必有，此時不等式顯然不能成立，故或，此時，不等式即為，解得或．
7．C【解析】當(dāng)時，得，令，則，
，令，，
則，顯然在上，，單調(diào)遞減，所以，因此；同理，當(dāng)時，得．由以上兩種情況得．顯然當(dāng)時也成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
8．C【解析】設(shè)，則，故在上有一個極值點(diǎn)，即在上不是單調(diào)函數(shù)，無法判斷與的大小，故A、B錯；構(gòu)造函數(shù)，，故在上單調(diào)遞減，所以，選C．
9．B【解析】當(dāng)，可得圖象D；記，
，
取，，令，得，易知的極小值為，又，所以，所以圖象A有可能；同理取，可得圖象C有可能；利用排除法可知選B．
10．C【解析】若則有，所以A正確。由得
，因?yàn)楹瘮?shù)的對稱中心為（0,0），
所以的對稱中心為,所以B正確。由三次函數(shù)的圖象可知，若是的極小值點(diǎn)，則極大值點(diǎn)在的左側(cè)，所以函數(shù)在區(qū)間（∞,
）單調(diào)遞減是錯誤的，D正確。選C.
11．A【解析】若在上恒成立，則，
則在上無解；
同理若在上恒成立，則。
所以在上有解等價于在上有解，
即，
令，所以，
所以．
12．D【解析】A．，錯誤．是的極大值點(diǎn)，并不是最大值點(diǎn)；B．是的極小值點(diǎn)．錯誤．相當(dāng)于關(guān)于y軸的對稱圖像，故應(yīng)是的極大值點(diǎn)；C．是的極小值點(diǎn)．錯誤．相當(dāng)于關(guān)于軸的對稱圖像，故應(yīng)是的極小值點(diǎn)．跟沒有關(guān)系；D．是的極小值點(diǎn)．正確．相當(dāng)于先關(guān)于y軸的對稱，再關(guān)于軸的對稱圖像．故D正確．
13．B【解析】,,由，解得，又，
故選B．
14．D【解析】，，恒成立，令，則
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)增，
則為的極小值點(diǎn)，故選D．
15．D【解析】，由，即，得．
由，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．選D．
16．D【解析】若為函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則易知，選項A，B的函數(shù)為，，為函數(shù)的一個極值點(diǎn)滿足條件；選項C中，對稱軸，且開口向下，
，，也滿足條件；選項D中，對稱軸
，且開口向上，，，與題圖矛盾，故選D．
17．D【解析】由題不妨令，則，
令解得，因時，，當(dāng)時，
，所以當(dāng)時，達(dá)到最?。矗?/p>
18．3【解析】．
19．①④【解析】因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的，所以對于不相等的實(shí)數(shù)，恒成立，①正確；因?yàn)?，所?/p>
=，正負(fù)不定，②錯誤；由，整理得．
令函數(shù)，則，
令，則，又，
，從而存在，使得，
于是有極小值，所以存
在，使得，此時在上單調(diào)遞增，故不存在不相等的實(shí)數(shù)，使得，不滿足題意，③錯誤；由得，即，設(shè)，
則，所以在上單調(diào)遞增的，且當(dāng)時，
，當(dāng)時，，所以對于任意的，與的圖象一定有交點(diǎn)，④正確．
20．2【解析】由題意，令得或．
因或時，，時，．
時取得極小值．
21．【解析】(1)的定義域?yàn)?，?/p>
由題設(shè)知，，所以．
從而，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
(2)當(dāng)時，．
設(shè)，則
當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以是的最小值點(diǎn)．
故當(dāng)時，．
因此，當(dāng)時，．
22．【解析】(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，
由得，
因?yàn)?，所以?/p>
由基本不等式得．
因?yàn)?，所以?/p>
由題意得．
設(shè)，
則，
所以
16
+
所以在上單調(diào)遞增，
故，
即．
(2)令，，則
，
所以，存在使，
所以，對于任意的及，直線與曲線有公共點(diǎn)．
由得．
設(shè)，
則，
其中．
由(1)可知，又，
故，
所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此方程至多1個實(shí)根．
綜上，當(dāng)時，對于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)．
23．【解析】(1)當(dāng)時，，．
令解得或．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
(2)由于，所以等價于．
設(shè)，則，
僅當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增．
故至多有一個零點(diǎn)，從而至多有一個零點(diǎn)．
又，，
故有一個零點(diǎn)．
綜上，只有一個零點(diǎn)．
24．【解析】(1)因?yàn)椋?/p>
所以．
，
由題設(shè)知，即，解得．
(2)方法一：由(1)得．
若，則當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
所以在處取得極小值．
若，則當(dāng)時，，
所以．
所以1不是的極小值點(diǎn)．
綜上可知，的取值范圍是．
方法二：．
(ⅰ)當(dāng)時，令得．
隨的變化情況如下表：
1
+
?
↗
極大值
在處取得極大值，不合題意．
(ⅱ)當(dāng)時，令得．
①當(dāng)，即時，，
在上單調(diào)遞增，
無極值，不合題意．
②當(dāng)，即時，隨的變化情況如下表：
1
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
在處取得極大值，不合題意．
③當(dāng)，即時，隨的變化情況如下表：
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
在處取得極小值，即滿足題意．
(ⅲ)當(dāng)時，令得．
隨的變化情況如下表：
?
+
?
極小值
↗
極大值
在處取得極大值，不合題意．
綜上所述，的取值范圍為．
25．【解析】(1)，．
因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是．
(2)當(dāng)時，．
令，則．
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
所以．因此．
26．【解析】(1)函數(shù)，，則，．
由且，得，此方程組無解，
因此，與不存在“點(diǎn)”．
(2)函數(shù)，，
則．
設(shè)為與的“點(diǎn)”，由且，得
，即，（*）
得，即，則．
當(dāng)時，滿足方程組（*），即為與的“點(diǎn)”．
因此，的值為．
(3)對任意，設(shè)．
因?yàn)?，且的圖象是不間斷的，
所以存在，使得．令，則．
函數(shù)，
則．
由且，得
，即，（**）
此時，滿足方程組（**），即是函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)的一個“點(diǎn)”．
因此，對任意，存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”．
27．【解析】(1)由已知，可得，故，
因此，=?1，
又因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，
故所求切線方程為．
(2)由已知可得
．
故．令=0，解得，或．
當(dāng)變化時，，的變化如下表：
(?∞，
)
(，
)
(，
+∞)
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
所以函數(shù)的極大值為；函數(shù)小值為．
(3)曲線與直線有三個互異的公共點(diǎn)等價于關(guān)于的方程有三個互異的實(shí)數(shù)解，
令，可得．
設(shè)函數(shù)，則曲線與直線有三個互異的公共點(diǎn)等價于函數(shù)有三個零點(diǎn)．
．
當(dāng)時，，這時在R上單調(diào)遞增，不合題意．
當(dāng)時，=0，解得，．
易得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的極大值=>0．
的極小值=?．
若，由的單調(diào)性可知函數(shù)至多有兩個零點(diǎn)，不合題意．
若即，
也就是，此時，
且，從而由的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點(diǎn)，符合題意．
所以的取值范圍是
28．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
，
①若，則，在單調(diào)遞增．
②若，則由得．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
③若，則由得．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（2）①若，則，所以．
②若，則由（1）得，當(dāng)時，取得最小值，最小值為
．從而當(dāng)且僅當(dāng)，即時，．
③若，則由（1）得，當(dāng)時，取得最小值，最小值為
．
從而當(dāng)且僅當(dāng)，即時．
綜上，的取值范圍為．
29．【解析】（1）
令得
，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（2）．
當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，，因此在單調(diào)遞減，而，故，所以
．
當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，，所以在單調(diào)遞增，而，故．
當(dāng)時，，，
取，則，，
故．
當(dāng)時,取,則,．
綜上，的取值范圍是．
30．【解析】（1）的定義域?yàn)?，?/p>
若，則當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增.
若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（2）由（1）知，當(dāng)時，在取得最大值，最大值為
．
所以等價于，
即．
設(shè)，則．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故當(dāng)時，取得最大值，最大值為．所以當(dāng)時，．從而當(dāng)時，，即．
31．【解析】（I）由，可得
，
令，解得，或．由，得．
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（II）（i）因?yàn)?，由題意知，
所以，解得．
所以，在處的導(dǎo)數(shù)等于0．
（ii）因?yàn)椋?，由，可得?/p>
又因?yàn)椋?，故為的極大值點(diǎn)，由（I）知．
另一方面，由于，故，
由（I）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，在上恒成立，
從而在上恒成立．
由，得，．
令，，所以，
令，解得（舍去），或．
因?yàn)?，，，故的值域?yàn)椋?/p>
所以，的取值范圍是．
32．【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋?/p>
所以
（Ⅱ）由
解得或．
因?yàn)?/p>
x
（，1）
1
（1，）
（，）
-
+
-
↗
又，
所以在區(qū)間上的取值范圍是．
33．【解析】(1)由,得.
當(dāng)時，有極小值.
因?yàn)榈臉O值點(diǎn)是的零點(diǎn).
所以，又，故.
因?yàn)橛袠O值，故有實(shí)根，從而，即.
時，，故在R上是增函數(shù)，沒有極值；
時，有兩個相異的實(shí)根，.
列表如下
+
–
+
極大值
極小值
故的極值點(diǎn)是.
從而，
因此，定義域?yàn)?
（2）由（1）知，．
設(shè)，則．
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以，故，即?/p>
因此．
（3）由（1）知,的極值點(diǎn)是，且，.
從而
記，所有極值之和為，
因?yàn)榈臉O值為，所以，.
因?yàn)?，于是在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?，于是，?
因此的取值范圍為.
34．【解析】
(Ⅰ)
(i)設(shè)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
(ii)設(shè)，由得或．
①若，則，所以在單調(diào)遞增.
②若，則,故當(dāng)時，；
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
③若，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
(Ⅱ)(i)設(shè)，則由(I)知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
又，取b滿足b
則，所以有兩個零點(diǎn).
(ii)設(shè)a=0，則，所以有一個零點(diǎn).
(iii)設(shè)a
又當(dāng)時，
綜上，的取值范圍為.
35．【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?當(dāng)時，
，
曲線在處的切線方程為
（Ⅱ）當(dāng)時，等價于
令，則
，
（i）當(dāng)，時，，
故在上單調(diào)遞增，因此；
（ii）當(dāng)時，令得
，
由和得，故當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，因此.
綜上，的取值范圍是
36．【解析】（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域?yàn)?，，令，解得．?dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.
所以當(dāng)時，.
故當(dāng)時，，，即.
（Ⅲ）由題設(shè)，設(shè)，則，
令，解得.
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
由（Ⅱ）知，，故，又，
故當(dāng)時，.
所以當(dāng)時，.
37【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?/p>
若，則，所以在單調(diào)遞增．
若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時，在上無最大值；當(dāng)時，在取得最大值，最大值為．
因此等價于．
令，則在單調(diào)遞增，．
于是，當(dāng)時，；當(dāng)時，．
因此的取值范圍是．
38．【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?，?/p>
當(dāng)時,，沒有零點(diǎn)；
當(dāng)時，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又，當(dāng)滿足且時，，故當(dāng)時，存在唯一零點(diǎn)．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為．
由于，所以．
故當(dāng)時，．
39．【解析】（Ⅰ）=，.
曲線在點(diǎn)（0,2）處的切線方程為．
由題設(shè)得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
設(shè)，由題設(shè)知．
當(dāng)≤0時，，單調(diào)遞增，，所以=0在有唯一實(shí)根．
當(dāng)時，令，則．
，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，所以在沒有實(shí)根.
綜上，=0在R有唯一實(shí)根，即曲線與直線只有一個交點(diǎn)．
40．【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
由可得
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以
的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，在內(nèi)單調(diào)遞減，
故在內(nèi)不存在極值點(diǎn)；
當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，，因此．
當(dāng)時，時，函數(shù)單調(diào)遞增
故在內(nèi)不存在兩個極值點(diǎn)；
當(dāng)時，
函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)
當(dāng)且僅當(dāng)，解得
綜上函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)時，的取值范圍為．
41．【解析】（Ⅰ），
由題設(shè)知，解得．
（Ⅱ）的定義域?yàn)椋桑á瘢┲?，?/p>
（?。┤簦瑒t，故當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以，存在，使得的充要條件為，
即，解得．
（ii）若，則，故當(dāng)時，；
當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以，存在，使得的充要條件為，
而，所以不合題意．
（iii）若，則．
綜上，的取值范圍是．
42．【解析】（Ⅰ）由題意知時，，
此時，可得，又，
所以曲線在處的切線方程為．
（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，令，
由于，
①當(dāng)時，，
，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
②當(dāng)時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
③當(dāng)時，，
設(shè)是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，
則，，
由
，
所以時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
43．【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）
44．【解析】（Ⅰ），，是上的偶函數(shù)
（Ⅱ）由題意，，即
，，即對恒成立
令，則對任意恒成立
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
（Ⅲ），當(dāng)時，在上單調(diào)增
令，
，，即在上單調(diào)減
存在，使得，，即
設(shè)，則
當(dāng)時，，單調(diào)增；
當(dāng)時，，單調(diào)減
因此至多有兩個零點(diǎn)，而
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，．
45．【解析】．由已知得，，
故，，從而；
（Ⅱ）
由（I）知，
令得，或．
從而當(dāng)時，；當(dāng)時，．
故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，極大值為．
46．【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?/p>
①
當(dāng)或時，；當(dāng)時，
所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
故當(dāng)時，取得極小值，極小值為；當(dāng)時，取得極大值，極大值為．
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為，則的方程為
所以在軸上的截距為
由已知和①得．
令，則當(dāng)時，的取值范圍為；當(dāng)時，的取值范圍是．
所以當(dāng)時，的取值范圍是．
綜上，在軸上截距的取值范圍．
47．【解析】（Ⅰ）由，得．
又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，
得，即，解得．
（Ⅱ），
①當(dāng)時，，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值．
②當(dāng)時，令，得，．
，；，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，且極小值為，無極大值．
綜上，當(dāng)時，函數(shù)無極小值；
當(dāng)，在處取得極小值，無極大值．
（Ⅲ）當(dāng)時，
令，
則直線：與曲線沒有公共點(diǎn)，
等價于方程在上沒有實(shí)數(shù)解．
假設(shè)，此時，，
又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾，故．
又時，，知方程在上沒有實(shí)數(shù)解．
所以的最大值為．
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）當(dāng)時，．
直線：與曲線沒有公共點(diǎn)，
等價于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程：
（*）
在上沒有實(shí)數(shù)解．
①當(dāng)時，方程（*）可化為，在上沒有實(shí)數(shù)解．
②當(dāng)時，方程（*）化為．
令，則有．
令，得，
當(dāng)變化時，的變化情況如下表：
當(dāng)時，，同時當(dāng)趨于時，趨于，
從而的取值范圍為．
所以當(dāng)時，方程（*）無實(shí)數(shù)解，解得的取值范圍是．
綜上，得的最大值為．
48．【解析】（Ⅰ）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．
f′(x)＝2xln
x＋x＝x(2ln
x＋1)，令f′(x)＝0，得.
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
f′(x)
－
＋
f(x)
極小值
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（Ⅱ）證明：當(dāng)0＜x≤1時，f(x)≤0.
設(shè)t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．
h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln
et－t＝t(e2t－1)＞0.
故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．
（Ⅲ）證明：因?yàn)閟＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，從而
，
其中u＝ln
s.
要使成立，只需.
當(dāng)t＞e2時，若s＝g(t)≤e，則由f(s)的單調(diào)性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．
所以s＞e，即u＞1，從而ln
u＞0成立．
另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.
當(dāng)1＜u＜2時，F(xiàn)′(u)＞0；當(dāng)u＞2時，F(xiàn)′(u)＜0.
故對u＞1，F(xiàn)(u)≤F(2)＜0.
因此成立．
綜上，當(dāng)t＞e2時，有.
49．【解析】：（Ⅰ）由題在上恒成立，在上恒成立，；
若，則在上恒成立，在上遞增，
在上沒有最小值，，
當(dāng)時，，由于在遞增，時，遞增，時，遞減，從而為的可疑極小點(diǎn)，由題，，
綜上的取值范圍為．
（Ⅱ）由題在上恒成立，
在上恒成立，，
由得
，
令，則，
當(dāng)時，，遞增，
當(dāng)時，，遞減，
時，最大值為，
又時，，
時，，
據(jù)此作出的大致圖象，由圖知：
當(dāng)或時，的零點(diǎn)有1個,
當(dāng)時，的零點(diǎn)有2個,
50．【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?，?/p>
若，則，所以在單調(diào)遞增．
若，則當(dāng)時，當(dāng)，，所以
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（Ⅱ）
由于，所以(x－k)
f′(x)+x+1=．
故當(dāng)時，(x－k)
f′(x)+x+1>0等價于
（）
①
令，則
由（Ⅰ）知，函數(shù)在單調(diào)遞增．而，所以在存在唯一的零點(diǎn)，故在存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在的最小值為，又由，可得，所以
故①等價于，故整數(shù)的最大值為2．
51．【解析】（Ⅰ）設(shè)；則
①當(dāng)時，在上是增函數(shù)
得：當(dāng)時，的最小值為
②當(dāng)時，
當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為
（Ⅱ）
由題意得：
52．【解析】（Ⅰ）由
=
可得，而，
即，解得；
（Ⅱ），令可得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)．
（Ⅲ）
=
因此對任意的，等價于
設(shè)
所以，
因此時，，時，
所以，故．
設(shè)，則，
，，，，即
，對任意的，．
53．【解析】（Ⅰ）
由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故
即,解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
考慮函數(shù)，則
所以當(dāng)時，故
當(dāng)時，
當(dāng)時，
從而當(dāng)
54．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?/p>
所以
由于，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為
（Ⅱ）【證明】：由題意得，
由（Ⅰ）知內(nèi)單調(diào)遞增，
要使恒成立，
只要，解得
55．【解析】（Ⅰ）由
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得從而
，故：
（1）當(dāng)；
（2）當(dāng)
綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為。
（Ⅲ）當(dāng)時，
由（Ⅱ）可得，當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時，的變化情況如下表：
－
+
單調(diào)遞減
極小值1
單調(diào)遞增
2
又的值域?yàn)閇1，2]．
由題意可得，若，則對每一個，直線與曲線
都有公共點(diǎn)．并且對每一個，
直線與曲線都沒有公共點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時，存在最小的實(shí)數(shù)=1，最大的實(shí)數(shù)=2，使得對每一個，直線與曲線都有公共點(diǎn)．
56．【解析】（Ⅰ）時，，
。當(dāng)時;當(dāng)時，;當(dāng)時，。故在，單調(diào)增加，在（1，0）單調(diào)減少．
（Ⅱ）。令，則。若，則當(dāng)時，，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)x≥0時≥0，即≥0．
若，則當(dāng)時，，為減函數(shù)，而，
數(shù)列
第十八講
數(shù)列的綜合應(yīng)用
一、選擇題
1．(2018浙江)已知，，，成等比數(shù)列，且．若，則
A．，
B．，
C．，
D．，
2．(2015湖北)設(shè)，．若p：成等比數(shù)列；q：，則
A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件
B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件
C．p是q的充分必要條件
D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件
3．（2014新課標(biāo)2）等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則的前項和=
A．
B．
C．
D．
4．（2014浙江）設(shè)函數(shù)，，
，記
，則
A．
B．
C．
D．
二、填空題
5．(2018江蘇)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前項和，則使得成立的的最小值為
．
6．（2015浙江）已知是等差數(shù)列，公差不為零．若，，成等比數(shù)列，且，則
，
．
7．（2013重慶）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前項和，若成等比數(shù)列，則．
8．（2011江蘇）設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則的最小值是________．
三、解答題
9．（2018江蘇）設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，是首項為，公比為的等比數(shù)列．
(1)設(shè)，若對均成立，求的取值范圍；
(2)若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．
10*．（2017浙江）已知數(shù)列滿足：，．
證明：當(dāng)時
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
*根據(jù)親所在地區(qū)選用，新課標(biāo)地區(qū)（文科）不考．
11．（2017江蘇）對于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足
對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．
（1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”；
（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列．
12．（2016年四川）已知數(shù)列的首項為1，為數(shù)列的前項和，，其中，
(Ⅰ)若成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；
(Ⅱ)設(shè)雙曲線的離心率為，且，求．
13．（2016年浙江）設(shè)數(shù)列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.
（I）求通項公式；
（II）求數(shù)列{}的前項和.
14．(2015重慶)已知等差數(shù)列滿足，前3項和．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求前項和．
15．（2015天津）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項和．
16．(2015四川)設(shè)數(shù)列（=1,2,3…）的前項和滿足，且，+1，成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求．
17．（2015湖北）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，．
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；
（Ⅱ）當(dāng)時，記=，求數(shù)列的前項和．
18．(2014山東）已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且，，成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）令=求數(shù)列的前項和．
19．（2014浙江）已知數(shù)列和滿足．若為等比數(shù)列，且
（Ⅰ）求與；
（Ⅱ）設(shè)．記數(shù)列的前項和為．
（?。┣螅?/p>
（ⅱ）求正整數(shù)，使得對任意，均有．
20．（2014湖南）已知數(shù)列{}滿足
（Ⅰ）若{}是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值；
（Ⅱ）若，且{}是遞增數(shù)列，{}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{}的通項公式．
21．（2014四川）設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上（）．
（Ⅰ）若，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項和；
（Ⅱ）若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列
的前項和．
22．(2014江蘇)設(shè)數(shù)列的前項和為．若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“H數(shù)列”．
（Ⅰ）若數(shù)列的前n項和(N)，證明:
是“H數(shù)列”；
（Ⅱ）設(shè)
是等差數(shù)列，其首項，公差．若
是“H數(shù)列”，求的值；
（Ⅲ）證明：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“H數(shù)列”和，使得(N)成立．
23．（2013安徽）設(shè)數(shù)列滿足，，且對任意，函數(shù)
，滿足
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項和．
24．（2013廣東）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足
且構(gòu)成等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）證明：對一切正整數(shù)，有．
25．（2013湖北）已知是等比數(shù)列的前項和，，，成等差數(shù)列，
且.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；
若不存在，說明理由．
26．（2013江蘇）設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，是其前項和.
記，，其中為實(shí)數(shù).
（Ⅰ）
若，且，，成等比數(shù)列，證明：；
（Ⅱ）
若是等差數(shù)列，證明：．
27．
(2012山東)已知等差數(shù)列的前5項和為105，且．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）對任意，將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為.求數(shù)列的前m項和．
28．（2012湖南）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50％．預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬元．
（Ⅰ）用表示，并寫出與的關(guān)系式；
（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過（≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金的值（用表示）．
29．（2012浙江）已知數(shù)列的前項和為，且=，，數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．
30．（2012山東）在等差數(shù)列中，，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）對任意的，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)為，求數(shù)列的前項和．
31．（2012江蘇）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：．
（Ⅰ）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值．
32．（2011天津）已知數(shù)列滿足，
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)，證明是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)為的前項和，證明
33．（2011天津）已知數(shù)列與滿足：，
，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)證明：．
34．（2010新課標(biāo)）設(shè)數(shù)列滿足
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項和．
35．（2010湖南）給出下面的數(shù)表序列：
其中表（=1,2,3
）有行，第1行的個數(shù)是1，3，5，，21，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．
（Ⅰ）寫出表4，驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表（≥3）（不要求證明）；
（Ⅱ）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1，4，12，，記此數(shù)列為，求和：
．
專題六
數(shù)列
第十八講
數(shù)列的綜合應(yīng)用
答案部分
1．B【解析】解法一
因?yàn)?)，所以
，所以，又，所以等比數(shù)列的公比．
若，則，
而，所以，
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選B．
解法二
因?yàn)?，?/p>
所以，則，
又，所以等比數(shù)列的公比．
若，則，
而，所以
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選B．
2．A【解析】對命題p：成等比數(shù)列，則公比且；
對命題，
①當(dāng)時，成立；
②當(dāng)時，根據(jù)柯西不等式，
等式成立，
則，所以成等比數(shù)列，
所以是的充分條件，但不是的必要條件．
3．A【解析】，，成等比數(shù)列，，即，解得，所以．
4．B【解析】在上單調(diào)遞增，可得，
，…，，
=
在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
，…，，，
，…，
==
=
在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得
因此．
5．27【解析】所有的正奇數(shù)和()按照從小到大的順序排列構(gòu)成，在數(shù)列
中，前面有16個正奇數(shù)，即，．當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；……；當(dāng)時，=
441
+62=
503
+62=546>=540，符合題意．故使得成立的的最小值為27．
6．【解析】由題可得，，故有，又因?yàn)椋?，所以?/p>
7．64【解析】由且成等比數(shù)列，得，解得，故．
8．【解析】設(shè)，則，由于，所以，故的最小值是．
因此，所以．
9．【解析】(1)由條件知：,．
因?yàn)閷?1，2，3，4均成立，
即對=1，2，3，4均成立，
即11，13，35，79，得．
因此，的取值范圍為．
(2)由條件知：,．
若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，
即(=2，3，···，+1)，
即當(dāng)時，滿足．
因?yàn)?，則，
從而，，對均成立．
因此，取=0時，對均成立．
下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（）．
①當(dāng)時，，
當(dāng)時，有，從而．
因此，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，
故數(shù)列的最大值為．
②設(shè)，當(dāng)時，，
所以單調(diào)遞減，從而．
當(dāng)時，，
因此，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，
故數(shù)列的最小值為．
因此，的取值范圍為．
10．【解析】（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時，
假設(shè)時，，
那么時，若，則，矛盾，故．
因此
所以
因此
（Ⅱ）由得
記函數(shù)
函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以=0，
因此
故
（Ⅲ）因?yàn)?/p>
所以得
由得
所以
故
綜上，
．
11．【解析】證明:（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，則，
從而，當(dāng)時，
，
所以，
因此等差數(shù)列是“數(shù)列”.
（2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此，
當(dāng)時，，①
當(dāng)時，.②
由①知，，③
，④
將③④代入②，得，其中，
所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.
在①中，取，則，所以，
在①中，取，則，所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
12．【解析】（Ⅰ）由已知，
兩式相減得到.
又由得到，故對所有都成立.
所以，數(shù)列是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.
從而.
由成等差數(shù)列，可得，所以，故.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以雙曲線的離心率.
由解得.所以，
13．【解析】（1）由題意得：，則，
又當(dāng)時，由，
得，
所以，數(shù)列的通項公式為.
（2）設(shè)，，.
當(dāng)時，由于，故.
設(shè)數(shù)列的前項和為，則.
當(dāng)時，，
所以，.
14．【解析】（Ⅰ）設(shè)的公差為，則由已知條件得
化簡得
解得，．
故通項公式，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
設(shè)的公比為，則，從而．
故的前項和
．
15．【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為q，數(shù)列的公差為d，由題意，由已知，有
消去d，整數(shù)得，又因?yàn)椋?，解得，所以的通項公式為，數(shù)列的通項公式為.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有
,設(shè)的前n項和為，則
，
，
兩式相減得，
所以．
16．【解析】(Ⅰ)
由已知，有
=(n≥2)，即(n≥2)，
從而，．
又因?yàn)椋?1，成等差數(shù)列，即＋＝2(＋1)，
所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2．
所以，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
所以＝．
17．【解析】（Ⅰ）由題意有，
即，
解得
或
故或
（Ⅱ）由，知，，故，于是
，
①
．
②
①－②可得
，
故．
18．【解析】（Ⅰ）
解得
（Ⅱ），
當(dāng)為偶數(shù)時
．
19．【解析】（Ⅰ）由題意，，，
知，又由，得公比（舍去），
所以數(shù)列的通項公式為，
所以，
故數(shù)列的通項公式為，；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，
所以；
（ii）因?yàn)椋?/p>
當(dāng)時，，
而，
得，
所以當(dāng)時，，
綜上對任意恒有，故．
20．【解析】（I）因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以。而，
因此又成等差數(shù)列，所以，因而，
解得
當(dāng)時，，這與是遞增數(shù)列矛盾。故.
（Ⅱ）由于是遞增數(shù)列，因而，于是
①
但，所以
.
②
又①，②知，，因此
③
因?yàn)槭沁f減數(shù)列，同理可得，故
④
由③，④即知，。
于是
.
故數(shù)列的通項公式為．
21．【解析】（Ⅰ）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，又等差數(shù)列的公差為，所以
因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，所以
又，所以
（Ⅱ）由，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為
所以切線在軸上的截距為，從而，故
從而，，
所以
故．
22．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，
當(dāng)時，
時，，當(dāng)時，，是“H數(shù)列”．
（Ⅱ）
對，使，即
取得，
，，又，，．
（Ⅲ）設(shè)的公差為d
令，對，
，對，
則，且為等差數(shù)列
的前n項和，令，則
當(dāng)時；
當(dāng)時；
當(dāng)時，由于n與奇偶性不同，即非負(fù)偶數(shù)，
因此對，都可找到，使成立，即為“H數(shù)列”．
的前n項和，令，則
對，是非負(fù)偶數(shù)，
即對，都可找到，使得成立，即為“H數(shù)列”
因此命題得證．
23．【解析】（Ⅰ）由，
所以，
是等差數(shù)列.
而，，，，
（Ⅱ）
24．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，，
（Ⅱ）當(dāng)時，，
,
當(dāng)時，是公差的等差數(shù)列.
構(gòu)成等比數(shù)列，，，
解得．
由（Ⅰ）可知，
是首項,公差的等差數(shù)列.
數(shù)列的通項公式為.
（Ⅲ）
25．【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，則，.
由題意得
即
解得
故數(shù)列的通項公式為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
.
若存在，使得，則，即
當(dāng)為偶數(shù)時，，
上式不成立；
當(dāng)為奇數(shù)時，，即，則.
綜上，存在符合條件的正整數(shù)，且所有這樣的n的集合為．
26．【證明】（Ⅰ）若，則，，又由題，
，，
是等差數(shù)列，首項為，公差為，，又成等比數(shù)列，
，，，，，，
，（）．
（Ⅱ）由題，，，若是等差數(shù)列，則可設(shè)，是常數(shù)，關(guān)于恒成立．整理得：
關(guān)于恒成立．，
．
27．【解析】（Ⅰ）由已知得：
解得,
所以通項公式為.
（Ⅱ）由，得，即.
，
是公比為49的等比數(shù)列，
．
28．【解析】（Ⅰ）由題意得，
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
整理得
．
由題意，
解得．
故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時，經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為4000元．
29．【解析】（Ⅰ）由=，得
當(dāng)=1時，；
當(dāng)2時，，.
由，得，.
（Ⅱ）由（1）知，
所以，
，
，．
30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，則
，，
于是，即.
（Ⅱ）對任意m∈，，則，
即，而，由題意可知，
于是
，
即.
31．【解析】（Ⅰ）由題意知，
所以，從而
所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）．所以，
從而
(*)
設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知下證．
若，則．故當(dāng)，，與（*）矛盾；
若，則．故當(dāng)，，與（*）矛盾；
綜上：故，所以．
又，所以是以公比為的等比數(shù)列，若，
則，于是，又由，得，
所以中至少有兩項相同，矛盾．所以，從而，
所以．
32．【解析】（Ⅰ）由，可得
又，
當(dāng)
當(dāng)
（Ⅱ）證明：對任意
①
②
②-①，得
所以是等比數(shù)列。
（Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當(dāng)時，
故對任意
由①得
因此，
于是，
故
33．【解析】（Ⅰ）由可得
又
當(dāng)時，，由，，可得；
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，，可得；
（Ⅱ）證明：對任意
①
②
③
②—③，得
④
將④代入①，可得
即
又
因此是等比數(shù)列.
（Ⅲ）證明：由（II）可得，
于是，對任意，有
將以上各式相加，得
即，
此式當(dāng)k=1時也成立.由④式得
從而
所以，對任意，
對于=1，不等式顯然成立.
所以，對任意
34．【解析】（Ⅰ）由已知，當(dāng)n≥1時，
．而
所以數(shù)列{}的通項公式為．
（Ⅱ）由知
①
從而
②
①-②得
．
即
．
35．【解析】（Ⅰ）表4為
1
3
5
7
4
8
12
12
20
32
它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別為4,8,16,32.
它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列．將結(jié)這一論推廣到表（≥3），即表各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列.
將這一結(jié)論推廣到表，即表各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列．
簡證如下（對考生不作要求）
首先，表的第1行1，3，5，…，是等差數(shù)列，其平均數(shù)為；其次，若表的第行，，…，是等差數(shù)列，則它的第行，，…，也是等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)知，表的第行中的數(shù)的平均數(shù)與行中的數(shù)的平均數(shù)分別是
，．
由此可知，表各行中的數(shù)都成等差數(shù)列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均數(shù)是
由（Ⅰ）知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列（從而它的第行中的數(shù)的平均數(shù)是），于是表中最后一行的唯一一個數(shù)為.因此
．(=1,2,3,
…,
一、考后反思概念的界定
作為一個日常概念，人們?nèi)菀讓ⅰ胺此肌钡韧凇胺词 保谶@個意義上，反思就是對自己的思想、心理感受的思考，對自己體驗(yàn)過的東西的理解或描述.反思是一種思維的形式，是個體在頭腦中對問題進(jìn)行反復(fù)、嚴(yán)肅、執(zhí)著的沉思.考后反思是學(xué)生以自己的考試過程為思考對象，對自己所做出的行為、決策以及由此所產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行審視和分析的過程，是一種通過提高學(xué)生的自我覺察水平來促進(jìn)能力發(fā)展的途徑.
二、考后反思的理論基礎(chǔ)
從認(rèn)識論的角度看，人的有目的的實(shí)踐活動都是受知識、觀念支配的.學(xué)習(xí)反思亦是主觀見之于客觀的實(shí)踐活動，它遵循辯證唯物主義“實(shí)踐――認(rèn)識――再實(shí)踐――再認(rèn)識”的認(rèn)知規(guī)律.如果不反思實(shí)踐活動，實(shí)踐者可能不會清晰地認(rèn)識其實(shí)際所使用的理論知識及其行為的合理性.建構(gòu)主義認(rèn)為知識的學(xué)習(xí)并非是對客觀世界的被動反映，而是學(xué)習(xí)者能動選擇、主動建構(gòu)的過程.建構(gòu)主義指出學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是學(xué)習(xí)者積極主動地進(jìn)行意義建構(gòu)的過程，意義建構(gòu)是雙向的.考后反思是學(xué)生積極主動地進(jìn)行意義建構(gòu)的過程，是學(xué)生對考試的結(jié)果進(jìn)行審視和分析后再建構(gòu)，以期待下一次能考出更好成績，特別期待高考能考出理想成績.
三、指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行考后反思
進(jìn)入高三總復(fù)習(xí)，學(xué)生要參加多次的綜合性考試，如果他們能不斷反思，就可以明確自己存在問題并加以克服，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)成績.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價應(yīng)關(guān)注學(xué)生能否不斷反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，并改進(jìn)學(xué)習(xí)方法；教師要注意肯定學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的發(fā)展和進(jìn)步、特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn).我們老師要充分利用綜合性考試機(jī)會，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行考后反思，讓他們總結(jié)復(fù)習(xí)的成功和不足之處.以下筆者結(jié)合自己的實(shí)踐，談?wù)勅绾沃笇?dǎo)學(xué)生進(jìn)行考后反思，從反思考試心理、反思考試策略、反思失誤原因三個方面進(jìn)行指導(dǎo).
（一）反思考試心理 心理學(xué)家王極盛曾對74名全國高考狀元做過《各種因素在高考成功中的作用》調(diào)查，結(jié)果顯示，考生們普遍認(rèn)為，考場心態(tài)排在第一位，他們最大感慨就是考試中保持一顆平常心至關(guān)重要.我們可以這樣指導(dǎo)學(xué)生對考試心理進(jìn)行自我反思：考試是否緊張？是否正常發(fā)揮？按老師考前指導(dǎo)進(jìn)行心理調(diào)節(jié)哪些對自己有效？再比如進(jìn)行心理暗示：平常訓(xùn)練有素，考試心里有數(shù)，不要去想后果如何，專心做好每一題.高考緊張在所難免，適當(dāng)緊張是件好事，可以提高答題的興奮度，但是過度緊張會影響答題；可以通過深呼吸，把注意力集中在答題，安慰自己：大部分題我會做，沒啥好怕的等.遇到一時想不起來，盡量多聯(lián)想相關(guān)的知識點(diǎn)和方法，也可以先跳過去，做完后面題再來思考.
（二）反思考試策略 指導(dǎo)學(xué)生對考試策略反思，從以下幾個方面進(jìn)行：1.是否合理定位？2.考試時間是否合理安排？3.答題速度是否正常？有否被他人干憂？4.對選擇題作答是否“小題大做”？是否用到特殊法？如排除法、代入驗(yàn)證法、特值檢驗(yàn)法、直覺估算、最值要想到最特殊的位置、對抽象函數(shù)要具體化、一般問題要特殊化等.5.對填空題作答是否準(zhǔn)確？是否留心答案唯一？求解析式時是否寫上定義域？解不等式、求單調(diào)區(qū)間、求值域、判斷奇偶性等有否先求定義域？6.對解答題是否能“大題小做”？是否利用前面小題的結(jié)論？步驟是否簡潔、規(guī)范？
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；高考；復(fù)習(xí)；學(xué)習(xí)
中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）23-041-01
高中數(shù)學(xué)對于很多同學(xué)來說都是一個十分頭疼的科目，有些同學(xué)無論多么努力都不能夠在高中數(shù)學(xué)科目上面取得理想的成績。因?yàn)楦呷臅r間本來就很緊迫，同學(xué)們?yōu)榱烁呖计D苦奮斗，奈何高中數(shù)學(xué)是久攻不破，最后很多同學(xué)只好繳械投降，干脆放棄高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，將時間和精力全部都用到其他的科目上面。
其實(shí)這些繳械投降的同學(xué)們在高中數(shù)學(xué)上面已經(jīng)下了很多功夫，但就是不能取得應(yīng)有的成績，到底是什么原因？在學(xué)校中不乏那些在高中數(shù)學(xué)上面花費(fèi)的時間很少，但是成績卻非常好的同學(xué)們，難道是這些學(xué)生的智力高于其他人？其實(shí)未必吧。這些同學(xué)的成績之所以好過其他人，應(yīng)該是他們找到了自己的學(xué)習(xí)方法。
學(xué)習(xí)方法對于同學(xué)們的學(xué)習(xí)來說是十分重要的。好的學(xué)習(xí)方法可以讓同學(xué)們事半功倍，而壞的學(xué)習(xí)方法只能夠讓學(xué)生們事倍功半。只是在浪費(fèi)同學(xué)們的學(xué)習(xí)時間，所以找對自己的學(xué)習(xí)方法對于同學(xué)們來說十分重要。
一、復(fù)習(xí)要掌握方法，好的復(fù)習(xí)才能夠獲得好的成績
1、課后及時復(fù)習(xí)
每天課后，同學(xué)們要及時進(jìn)行復(fù)習(xí)，將課上老師所傳授的知識點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)和概括，仔細(xì)回想老師傳授的重點(diǎn)。閱讀書本，仔細(xì)的看書本中的知識點(diǎn)，將書本中的內(nèi)容吃透，弄懂，另外還要整理出自己的筆記，好的筆記對于同學(xué)們的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)都是十分有益的。
2、單元總體復(fù)習(xí)
每個單元學(xué)習(xí)完后，同學(xué)們要做好單元復(fù)習(xí)。整理、串聯(lián)這一個單元所學(xué)習(xí)的知識點(diǎn)，形成單元的理論體系，構(gòu)建出自己的知識點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)。歸納單元理論，這個單元主要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)理論，數(shù)學(xué)思想和學(xué)習(xí)方法，達(dá)到更高層面的理解。篩選這個單元中的典型例題和習(xí)題，做好筆記，做一套單元的試卷，總結(jié)出自己的疑點(diǎn)，將不會的地方弄懂，如果自己思考不出解題方法或是沒有解題思路的話，及時和老師溝通。
3、考前總復(fù)習(xí)和考后總結(jié)
考前復(fù)習(xí)和考后總結(jié)對于同學(xué)們來說十分關(guān)鍵，但是很多同學(xué)都找不到正確的方法，考前沒有合適的復(fù)習(xí)，只是一味地做題，記題型。這樣沒有套路的復(fù)習(xí)根本沒有效率，只能是讓同學(xué)們偶爾碰到運(yùn)氣，遇到剛剛做過的題，僥幸獲得一次好成績。正確的復(fù)習(xí)應(yīng)該要整理出知識體系，對知識點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)全面的復(fù)習(xí)，不要丟三落四。爭取在考試中做對會做的，能夠聯(lián)想出不會做的解題思路，盡可能的在試卷上面答題。考前的復(fù)習(xí)很重要，同學(xué)們通過考前復(fù)習(xí)要能夠發(fā)現(xiàn)知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到自主學(xué)習(xí)，弄懂理解知識點(diǎn)。
考后總結(jié)也十分重要，同學(xué)們在考試之后一定要做好總結(jié)?？梢詫ｉT準(zhǔn)備一個本子，做錯題的收集。剛開始時同學(xué)們的錯題可能有一大堆，但是在整理一些之后，同學(xué)們就會發(fā)現(xiàn)錯題是越來越少，到最后基本上是沒有了。而數(shù)學(xué)成績也會較大提高。錯題本可以讓同學(xué)們總結(jié)做錯的題。在進(jìn)行總結(jié)的時候，同學(xué)們一定要能夠?qū)⒆鲥e的題再仔細(xì)地做一遍，做到真正的弄懂，這樣錯題本才沒有失去意義。這個錯題本對于高三的學(xué)生來說更為關(guān)鍵，要參加高考的同學(xué)們一定心中十分慌亂，如果能擁有一個錯題本，本上面積累了自己曾經(jīng)做錯的很多題目，這對于同學(xué)們數(shù)學(xué)成績的提高很有幫助。
二、認(rèn)清自我，認(rèn)清學(xué)習(xí)狀態(tài)
1、心理素質(zhì)
同學(xué)們即將面臨高考。高考是對同學(xué)們多年以來學(xué)習(xí)的一次大檢驗(yàn)。其中考察的不僅是同學(xué)們的學(xué)習(xí)成績，還有同學(xué)們的心理素質(zhì)。在平常考試中同學(xué)們要積極勇敢的面對挫折，冷靜分析問題，找出克服困難和走出困境的方法。一個好的心態(tài)對于同學(xué)們來說是十分重要的。積極的心態(tài)可以讓同學(xué)們在挫折之中不后退，不畏懼，勇往直前。而很多同學(xué)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都沒有這樣積極的心態(tài)。有的同學(xué)在多次考試失利后，只會更加的消極，畏懼?jǐn)?shù)學(xué)，缺乏自信，不相信自己可以學(xué)好數(shù)學(xué)，這都是十分可怕的心理。因?yàn)楹ε?，同學(xué)們對數(shù)學(xué)也就失去興趣了，這樣也就更加不能學(xué)好數(shù)學(xué)了。所以同學(xué)們一定要擁有一個積極向上樂觀的心態(tài)。
2、了解自己的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣
習(xí)慣決定命運(yùn)，這是一位名人流傳千古的名言。而學(xué)習(xí)習(xí)慣決定學(xué)習(xí)成績，這同樣也是真理。好的學(xué)習(xí)習(xí)慣可以讓同學(xué)們戰(zhàn)無不勝攻無不克，在任何一個學(xué)科上面都能夠獲得優(yōu)異的成績，而壞的學(xué)習(xí)習(xí)慣只能讓同學(xué)們喪失學(xué)習(xí)動力，失去學(xué)習(xí)興趣，不能收獲好的成績。所以同學(xué)們一定要擁有好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要同學(xué)們積極主動地進(jìn)行探索，不要過分依賴?yán)蠋煛Ｍ瑢W(xué)們要結(jié)合自身實(shí)際的情況，結(jié)合老師的授課進(jìn)度，制定自己的學(xué)習(xí)計劃，不能夠完全依賴于老師的授課。課上要有效率。不能夠顧此失彼，因?yàn)闆]有做好預(yù)習(xí)，就在老師講課的時候看書，或者是盲目地做筆記，完全沒有弄懂老師所傳授的內(nèi)容，忽視了真正的聽課任務(wù)，顧此失彼，完全是處于被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)。
————100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(二)
內(nèi)容：教科書6—9頁
教學(xué)目標(biāo)：
1、在能讀寫100以內(nèi)數(shù)的基礎(chǔ)上對數(shù)的讀寫規(guī)則進(jìn)行概括。
2、 在將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（天上的鳥多還是冰上的鳥多，實(shí)際上是求47大還是32大） ，并經(jīng)歷用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)的大小關(guān)系（數(shù)學(xué)思考、數(shù)感）的過程中，正確進(jìn)行100以內(nèi)數(shù)的大小比較（知識）。
3、感受數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用。
學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)分析：
20以內(nèi)數(shù)的大小比較是100以內(nèi)數(shù)的大小比較的知識基礎(chǔ)。
100以內(nèi)數(shù)的讀寫是學(xué)生在生活中積累的經(jīng)驗(yàn)。
重難點(diǎn)關(guān)鍵分析：
本節(jié)課重點(diǎn)使學(xué)生學(xué)會將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題來解決，體會數(shù)學(xué)在人們生活中的作用。100以內(nèi)數(shù)的大小比較的方法的掌握以及用符號來表示是本節(jié)課的難點(diǎn)和關(guān)鍵。
教學(xué)設(shè)計：
（一） 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題
師：上一節(jié)課我們隨著小科學(xué)家們來到南極參觀考察，這一節(jié)課繼續(xù)我們的南極之行好嗎？。
出示情境圖（把文字遮蓋），學(xué)生獨(dú)立觀察情境圖。
師：說說你看到了什么？
師：根據(jù)這些信息你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？
引導(dǎo)提出以下問題：天上有多少只海鷗？冰上有多少只海鷗？一共有多少只海豹？左邊有多少只企鵝？右邊有多少只企鵝？天上的海鷗多還是冰上的海鷗多？或天上的海鷗比冰上的海鷗多多少？左邊的企鵝比右邊的企鵝多多少？
師：同學(xué)們提的問題可真多，這些問題正好是小科學(xué)家想知道的，我們來幫他們解決吧！
（二） 合作探究 解決問題
1、估數(shù)、數(shù)數(shù)
師：大家都很想知道海鷗、海豹、企鵝的只數(shù)，現(xiàn)在就請大家來估計一下，它們各有多少只？
學(xué)生獨(dú)立思考后，說出估計數(shù)，并簡單說說是怎樣估計的。
師：為了得到準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，靠估計是不行的，我們還是要認(rèn)真的數(shù)一數(shù)才行。
教師引導(dǎo)學(xué)生用喜歡的方法數(shù)出天上的海鷗（四十七只）、冰上的海鷗（三十二只）、海豹（二十五只）企鵝（三十九只）、數(shù)并在情境圖上出示（用大寫）。
2、寫數(shù)、讀數(shù)
（1）師：對于這次南極考察，這可都是重要的數(shù)據(jù)，趕緊幫小科學(xué)家記下來吧！
找一名學(xué)生寫在黑板上，其余寫在練習(xí)本上，共同訂正時，可以糾正一下寫法。
（2）請板演同學(xué)讀出寫的數(shù)，評價后全體同學(xué)齊讀。
在計數(shù)器上撥出以上各數(shù)。按老師要求一個數(shù)一個數(shù)撥出，注意訂正反饋，每撥完一個數(shù)就大聲讀出來。
3、概括讀寫法則
師：（指板書）這些數(shù)同學(xué)們既會讀又會寫，真了不起，那你發(fā)現(xiàn)我們在讀數(shù)和寫數(shù)時有什么規(guī)律嗎？
小組討論，可以讓學(xué)生在計數(shù)器上撥數(shù)，先讀出，再寫出，然后總結(jié)。（學(xué)生可能會答讀寫都是從左向右，也可能答先讀寫十位上的數(shù)，再讀寫個位上的數(shù)，）先肯定學(xué)生以上的說法，然后用計數(shù)器演示使學(xué)生明白，左邊這一位是十位，十位上一個珠子表示“十”；右邊這一位是個位，1個珠子表示“1”，左邊這一位十位對于個位來說就叫“高位”）。所以我們讀寫時都是從高位起。
4、數(shù)的大小比較
（1）師：小科學(xué)家們還想弄清是天上的海鷗多還是冰上的海鷗多？是企鵝多還是海豹多？大家還能幫助解決嗎？
學(xué)生獨(dú)立思考后回答。
師：你是怎么知道的？
學(xué)生可能回答：47比32大，所以天上的海鷗比冰上的海鷗多。39比25大，所以企鵝比海豹多。
師：噢！只要比一比這兩個數(shù)的大小就知道誰多誰少了。
教師板書47和32 25和39
（2）師：那你又是怎樣比較47和32的大小的呢？
學(xué)生獨(dú)立思考后回答。學(xué)生答案可能為：47比40大，以40為支點(diǎn)比較說明，32比40小，32不夠40，加上一些才夠，所以47大，32小。
以數(shù)的組成說明：47比4個十要多，32不夠4個十。
可能根據(jù)數(shù)的順序來比較：47排在32后面，所以47比32大。
對以上說法，都給予肯定表揚(yáng)。并用同樣的方法比較25和39的大小。
（3）師：怎樣用符號把47和32連接起來，還能看出哪個數(shù)大哪個數(shù)??？
引導(dǎo)學(xué)生用“＞”和“＜”連接。教師板書：
47＞32 32＜47
師：你能用符號連接25和39嗎？
學(xué)生回答后，教師板書：
25＜39 39＞25
（5）拓展延伸
師：（指板書）能否寫出幾個這樣的式子？
學(xué)生口述，教師板書。
師：（指板書）仔細(xì)觀察，看能發(fā)現(xiàn)什么？
引導(dǎo)學(xué)生用語言簡單總結(jié)大小比較的規(guī)律。
（三） 自主練習(xí)
1、做課本第1題寫出計數(shù)器上表示的數(shù)，并讀一讀。
先讓讓學(xué)生表述出計數(shù)器每個數(shù)位上珠子的個數(shù)。獨(dú)立填寫，匯報答案。共同訂正時注意糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，最后把所填數(shù)讀出來。
2、做課本第3題填一填，比一比。
先表述出計數(shù)器每個數(shù)位上的珠子數(shù)，然后寫出每個計數(shù)器上表示的數(shù)，比較出數(shù)的大小，最后填上“＞或＜”。
（四） 概括總結(jié)及評價
師：這一節(jié)課你有哪些收獲？
引導(dǎo)學(xué)生梳理一下本節(jié)課所學(xué)知識。
關(guān)鍵詞：考試 講評 注意 問題
在教學(xué)活動中，考后的講評工作作為教師工作的一個組成部分，是提高教學(xué)質(zhì)量的不可缺少的一個重要環(huán)節(jié)，對于澄清學(xué)生的模糊觀念、校正錯誤、提高分析問題的能力以及查缺補(bǔ)漏、激發(fā)求知欲，起著不可低估的作用。甚至可以說，考后講評比考試本身更有意義。如何做好考后的講評工作，考后講評應(yīng)注意哪些問題，筆者談一點(diǎn)粗淺的看法。
1. 認(rèn)真閱卷，掌握第一手材料
試卷講評最重要的是做到對癥下藥、有的放矢，最忌諱的是教師從頭到尾將試題講解一遍，教師一題一題報答案，學(xué)生一題一題對答案、抄答案。如何對癥下藥？首先要找到“癥結(jié)”，掌握第一手材料。這就要求教師必須認(rèn)真閱卷，并在閱卷中有選擇、有重點(diǎn)地將卷面情況，如一些典型性、普遍性的錯誤，學(xué)生中普遍存在的審題不清、概念模糊造成的失分較多的題目記錄下來，以備課堂講解、糾正和提高。最好是列舉典型問題，師生共同分析得分點(diǎn)、扣分點(diǎn)，目的就是讓學(xué)生能動腦，拓寬思路多方尋找答案。當(dāng)然也只有在認(rèn)真閱卷、掌握第一手材料的基礎(chǔ)上，教師在講評中才能胸有成竹，才能真正解決問題，提高考試效果，考試后做出試卷答案。教師自己僅看看分?jǐn)?shù)，就草草去講評的做法是不足取的。
2. 講評要有啟發(fā)性，注重復(fù)習(xí)與運(yùn)用知識
試卷講評，不應(yīng)僅僅局限于幫助學(xué)生把個別錯誤答案糾正過來，而且應(yīng)善于通過對某一問題的分析，使與此相關(guān)的一塊或一片知識得到復(fù)習(xí)鞏固和提高，通過講評更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)習(xí)題的“教學(xué)功能”和“發(fā)展功能”。所以教師在講評試卷時要注意知識的橫向和縱向的聯(lián)系，注意區(qū)別容易混淆的問題，要根據(jù)學(xué)生答題的實(shí)際情況，精心設(shè)計、巧妙提問、恰當(dāng)引導(dǎo)、耐心啟發(fā)，讓學(xué)生通過獨(dú)立認(rèn)真的思考獲取知識和方法。例如，對y= 型的函數(shù)值域的求法，是一道解法比較靈活的題目，雖然解決此類問題的方法很多，但學(xué)生得分率還是很低，其關(guān)鍵是學(xué)生對解決此類問題思路方法沒有真正的理解和掌握。我在講評“求函數(shù)y= 的值域”一題時，先與學(xué)生共同分析解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，尋找解決問題的有效途徑，經(jīng)過教師的指導(dǎo)與點(diǎn)撥，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)可以通過三種途徑解決此題：一是通過恒等變形，將原式化為Asinx+Bcosx=C的形式，再利用弦函數(shù)的有界性來求解；二是根據(jù)題目解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及直線的斜率公式，采用數(shù)形結(jié)合的方法，將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)連線的斜率來確定最值；三是利用三角中的萬能公式將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan 的二次方程，再利用判別式求解。通過這樣的師生互動使學(xué)生積極思考，變被動為主動，培養(yǎng)了學(xué)生認(rèn)真思考的習(xí)慣，更重要的是通過一道三角函數(shù)的最值問題的討論，學(xué)生對數(shù)學(xué)中三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)及化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等教育思想都進(jìn)行了有針對性的復(fù)習(xí)，從而達(dá)到舉一反
三、講解一題復(fù)習(xí)一片的目的。
3. 講評要有重點(diǎn)，注重學(xué)法和解法指導(dǎo)
試卷講評課與其他課型一樣，同樣要有目的、有步驟、有重點(diǎn)，注意提高針對性和實(shí)效性，切忌面面俱到。一份考卷不僅要將知識點(diǎn)分散考查。如果采取逐題講評的方式，學(xué)生思維跳躍頻繁，同類知識重復(fù)出現(xiàn)，勢必造成學(xué)生的厭倦情緒，難以達(dá)到預(yù)期效果，因此教師應(yīng)按試卷考查的知識點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)學(xué)生的“常見病”和“多發(fā)病”適當(dāng)進(jìn)行歸類講評，針對學(xué)生的實(shí)際情況和反饋的信息，區(qū)分好普遍性和傾向性問題，抓住問題的癥結(jié)，突破熱點(diǎn)和難點(diǎn)?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)行講評：
(1) 抓“通病”與典型錯誤
數(shù)學(xué)中常見到涉及函數(shù)的圖象問題，這是學(xué)生比較薄弱的一個環(huán)節(jié)。函數(shù)圖象的作法、函數(shù)圖象的變換、函數(shù)圖象的應(yīng)用，都是近幾年高考的熱點(diǎn)。很多學(xué)生都會產(chǎn)生錯誤，原因就在于對反函數(shù)的概念和函數(shù)的圖象的基本變換沒有掌握，理解不到位。因此對這類問題就要在講評試卷時認(rèn)真分析錯誤的原因，幫助學(xué)生糾正偏差，使學(xué)生掌握正確的思考方法和解題方法。
（2） 抓“通法”與典型思路
數(shù)學(xué)中有很多問題是考查基礎(chǔ)知識和基本技能的，解題也有“通法”和“特法”之分，根據(jù)高考的知識能力要求，學(xué)生要熟練掌握解決某些問題的“通法”。因此，在講評試卷時要注意向?qū)W生介紹解決一類問題的基本方法，也就是我們所說“通法”，講清楚一些題型的解題思路，使學(xué)生真正理解和掌握數(shù)學(xué)的思想方法。例如：“已知兩等差數(shù)列
實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，從而解決問題。通過這一題的講解，使學(xué)生學(xué)會靈活運(yùn)用等差數(shù)列的公式和性質(zhì)，有效地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題得到解決。
4. 講評要有激勵性，注重反思和總結(jié)的引導(dǎo)
一堂好的講評課，首先應(yīng)發(fā)現(xiàn)和肯定學(xué)生的成績規(guī)律和表揚(yáng)學(xué)生的進(jìn)步，以期使學(xué)生處于愛學(xué)數(shù)學(xué)的最佳狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。一位德國教育家說過：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵、喚醒、鼓舞?！彼钥荚嚭蟮闹v評要注意肯定和激勵，特別是對學(xué)困生，更要因人而異，要從解題思路、運(yùn)算過程、運(yùn)算結(jié)果和書寫格式上細(xì)心尋找他們的“閃光點(diǎn)”，并給予充分的表揚(yáng)和肯定，使他們感到自己已有進(jìn)步，從而增強(qiáng)他們的上進(jìn)心?？傊?，通過講評，要充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、意志、興趣、愛好等多方面的積極因素，促進(jìn)智力因素與非智力因素的協(xié)調(diào)發(fā)展，以提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。
通過一節(jié)講評課，研究了哪些問題，用了哪些數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生回顧與反思，進(jìn)行總結(jié)，納入知識系統(tǒng)，做到糾正一例，預(yù)防一片；講評一法，會解一類。教師要在講評后有針對性地布置作業(yè)，讓學(xué)生鞏固和練習(xí)，使學(xué)生牢固地掌握所學(xué)知識；同時要求每一個學(xué)生準(zhǔn)備一個糾錯記錄本，將平時作業(yè)、試卷中出現(xiàn)的錯誤記載下來，并進(jìn)行訂正。這樣，日積月累的每一本糾錯本，就是一個學(xué)生的高考兵法，考前復(fù)習(xí)時再回顧以前易出錯的問題，就能做到有的放矢，收到成效。實(shí)踐表明，引導(dǎo)學(xué)生反思與總結(jié)不僅能有效地糾錯、防錯，而且對于升學(xué)學(xué)生的解題能力有事半功倍之效。
關(guān)鍵詞：目標(biāo)；教學(xué)；案例
教學(xué)內(nèi)容：人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》七年級上冊第10頁—11頁“相反數(shù)”.
教學(xué)目標(biāo)：
1． 知識與技能：借助數(shù)軸理解相反數(shù)的概念，會求一個數(shù)的相反數(shù)，會用相反數(shù)的定義進(jìn)行化簡．
2． 過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想，提高觀察、歸納與概括的能力．
3． 情感態(tài)度價值觀：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度并初步感受數(shù)學(xué)文化的教育價值，認(rèn)識對立統(tǒng)一的規(guī)律．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：了解相反數(shù)的意義．
難點(diǎn)：多重符號的化簡．
教學(xué)過程實(shí)錄：
創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
師生互動：教師請兩位學(xué)生到講臺的課桌前，背靠背站好（分左右）后，聽教師口令：“向前走兩步”，并立正．
教師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們規(guī)定向右為正（正號可以省略），那么向右走2步，向左走2步各記作什么？
學(xué)生：向右走2步記作2步；向左走2步記作-2步．
教師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們規(guī)定兩個同學(xué)未走時的點(diǎn)為原點(diǎn)，那么，能否用上一節(jié)課所學(xué)的知識（數(shù)軸）將上述問題情境中的2和-2表示出來？
學(xué)生：畫數(shù)軸，在數(shù)軸上標(biāo)出表示2和-2的點(diǎn)．
教師：多媒體展示圖1并問：從數(shù)軸上觀察，這兩位同學(xué)各走的距離都是2步，但方向相反，可用2和-2表示，這兩個數(shù)具有哪些意義？
學(xué)生1：2和-2這兩個數(shù)具有相反意義．
教師：回答很好． 還有其他說法嗎？
學(xué)生2：2和-2的數(shù)字相同（都是2），但性質(zhì)符號不同．
學(xué)生3：2和-2這兩個數(shù)表示距原點(diǎn)都是兩個單位（距離相等）．
教師：在代數(shù)中，把具有上述特點(diǎn)的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù)，今天我們就來學(xué)習(xí)相反數(shù)的概念．
教師板書課題：“相反數(shù)”．
評析：本節(jié)課的導(dǎo)入，教師通過生動有趣的情景互動和引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸的直觀性，抓住了學(xué)生的注意力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣． 學(xué)生在教師的引導(dǎo)下將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，體會出2和-2這兩個數(shù)互為相反數(shù)的意義，感受到數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān)，在輕松愉悅的活動中獲得了知識，從感性上初步感知互為相反數(shù)的意義．
啟發(fā)思考，學(xué)習(xí)新課
1． 互為相反數(shù)的概念的引出
教師：畫一數(shù)軸如圖2所示，請學(xué)生觀察、討論并回答：
圖2
（1）在數(shù)軸上分別與1，－3，5到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是哪些？
（2）在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離都為1，3，5的點(diǎn)有幾個？
（3）利用數(shù)軸說出與原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的兩個數(shù)的位置特征和符號特征．
學(xué)生：利用已畫出數(shù)軸，先描點(diǎn)，然后觀察、討論上述問題．
教師：巡視學(xué)生學(xué)習(xí)情況并及時對個別學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)．
教師：抽學(xué)生回答上述兩個問題．
學(xué)生1：在數(shù)軸上與1，－3 ，5到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)分別是－1，3，－5．
圖2
教師：板書并在數(shù)軸上標(biāo)出到原點(diǎn)與1，－3 ，5距離相等的點(diǎn)．
學(xué)生2：在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有2個．它們表示的數(shù)分別是：1和－1，－3和3，5和－5．
學(xué)生3：這些點(diǎn)在數(shù)軸上的位置特征分別是：
①在原點(diǎn)的兩旁；
②到原點(diǎn)的距離相等，
③關(guān)于原點(diǎn)對稱．
學(xué)生4：1和－1，3和－3，5和－5這些數(shù)中每一對數(shù)的特點(diǎn)是數(shù)字相同，符號不同．
教師：根據(jù)上面對“1和－1”、“3和－3”、“5和－5”這三對數(shù)的特征的理解，怎樣給相反數(shù)下一個定義？
眾生：像1和－1、3和－3、5和－5這樣只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)
教師：板書（略）并強(qiáng)調(diào)“只有符號不同的兩個數(shù)”中的“只有”指的是除了符號不同以外，其他的完全相同．不能理解為只要符號不同的兩個數(shù)就是互為相反數(shù)，比如－3和2就不是相反數(shù)．
評析：在演示活動后，已出現(xiàn)了2、－2這兩個數(shù)，教師及時闡明它們就是互為相反的兩個數(shù)，這時不急于總結(jié)互為相反數(shù)的概念，而是提供了一個讓學(xué)生經(jīng)歷利用數(shù)軸找一組互為相反數(shù)的兩個數(shù)，先觀察這兩個數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系，再觀察這兩個數(shù)本身的特點(diǎn)，更形象直觀地引導(dǎo)學(xué)生理性得出相反數(shù)的概念和培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，有效地落實(shí)了情感態(tài)度價值觀的教學(xué)目標(biāo)．
互為相反數(shù)的概念的理解
教師：（出示投影）請學(xué)生思考后解答下面的問題：
（1）根據(jù)相反數(shù)的意義，判斷下列語句的正誤，并說明理由．
①的相反數(shù)是（ ）
②和互為相反數(shù)（ ）
③0既非正數(shù)也非負(fù)數(shù)，所以它沒有相反數(shù)（ ）．
師生活動：學(xué)生思考后并回答上述問題，教師講評（過程略）．
評析：根據(jù)學(xué)生判斷的結(jié)果加深對一個正（負(fù)）數(shù)都對應(yīng)一個負(fù)（正）數(shù)，這兩個數(shù)互為相反數(shù)中“互為”兩字的理解，同時明確“0的相反數(shù)仍是0”，這也是相反數(shù)定義的一部分．
（2）解答下列問題：
①在前面畫的數(shù)軸上任意標(biāo)出4個數(shù)，并標(biāo)出它們的相反數(shù)；
②分別說出9，－7，－0.2的相反數(shù)．
③指出－2.4，－1.7，1各是什么數(shù)的相反數(shù)？
④0的相反數(shù)是什么？
⑤a的相反數(shù)是什么？
師生活動：學(xué)生分成許多小組后，討論解答上述題目，并選代表準(zhǔn)備回答教師的檢查提問． 教師巡視學(xué)生分組學(xué)習(xí)情況和提問，講評（此過程略）．
評析：通過此組題目的解答，使學(xué)生再一次感知相反數(shù)的意義． ①題注意培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法理解相反數(shù)的概念，讓學(xué)生深知：數(shù)軸上，在原點(diǎn)兩旁，離開原點(diǎn)相等距離的兩個點(diǎn)所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)；②③④題是對相反數(shù)的概念的直接運(yùn)用，由特殊的數(shù)到一般的字母，緊扣“只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)”這一概念． 最后得出結(jié)論“a的相反數(shù)是－a”． 這一環(huán)節(jié)使“理解相反數(shù)的概念”這一教學(xué)目標(biāo)得到落實(shí)．
教師強(qiáng)調(diào)：“a的相反數(shù)是－a”還可說成“a和－a互為相反數(shù)”， “a”可表示任意數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)、0），求一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前加一個“－”號．
教師問：把a(bǔ)分別換成＋5，－7，0時，這些數(shù)的相反數(shù)怎樣表示？
學(xué)生思考后答：求任意一個數(shù)的相反數(shù)可以在這個數(shù)前加一個“－”號，即：＋5的相反數(shù)表示為－（+5），－7的相反數(shù)表示為－（－7），0的相反數(shù)是－0．
教師再提出問題：在一個數(shù)的前面加上“－”號表示這個數(shù)的相反數(shù)，那么－（＋1.1）表示什么意思？－（－7），－（－9.8）呢？它們的結(jié)果應(yīng)是多少？
學(xué)生活動：討論、分析、思考后回答：
學(xué)生1：－（＋1.1）表示＋1.1的相反數(shù)，結(jié)果是－1.1．
學(xué)生2：－（－7）表示－7的相反數(shù)，結(jié)果是+7．
學(xué)生3：－（－9.8）表示－9.8的相反數(shù)，結(jié)果是+9.8．
教師引導(dǎo)：在一個數(shù)前面加上“－”號表示這個數(shù)的相反數(shù)，如果在這些數(shù)前面加上“＋”號呢？
學(xué)生思考后回答：在一個數(shù)前面加上“＋”仍表示這個數(shù)，因?yàn)椤埃碧柨墒÷裕?/p>
教師：通過前面的學(xué)習(xí)交流，我們基本了解了相反數(shù)的有關(guān)概念，請同學(xué)們思考后用自己的話說出相反數(shù)的意義？
學(xué)生1：相反數(shù)是指只有符號不同的兩個數(shù)．
學(xué)生2：互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等．
學(xué)生3：還有在數(shù)軸上，互為相反數(shù)（0除外）的兩個點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩旁，并且關(guān)于原點(diǎn)對稱．
教師：同學(xué)們說得很好，對于相反數(shù)的概念理解得十分深刻． 怎樣確定一個數(shù)的相反數(shù)呢？
學(xué)生4：由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0來確定．
學(xué)生5：在一個數(shù)的前面添一個負(fù)號就能確定這個數(shù)的相反數(shù)．
評析：通過此環(huán)節(jié)，加深了對相反數(shù)概念的理解，學(xué)生在愉悅的課堂氣氛中感悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的美好境界． 既體現(xiàn)了知識與技能、過程與方法目標(biāo)的落實(shí)，又滲透情感態(tài)度價值觀教學(xué)目標(biāo)．
例題交流、總結(jié)方法
例1 求5、－4.5、的相反數(shù)．
教師：請幾名學(xué)生根據(jù)相反數(shù)的意義到黑板上求出例題1這幾個數(shù)的相反數(shù)． （學(xué)生解題過程略）
教師講評后強(qiáng)調(diào)：求一個數(shù)的相反數(shù)，可以在這個數(shù)的前面添一個“一”號． 如－5的相反數(shù)可表示為－（－5），我們知道－5的相反數(shù)是5，所以－（－5）=5．
例2 化簡：①+（+3），②+（－3），③－（+2．7），④－－，⑤-［-（-9）］ ．
教師：讓學(xué)生先在練習(xí)本上試著做一做，指名學(xué)生說說化簡的理由（學(xué)生答，教師板書過程略）．
評析：由于利用相反數(shù)的概念化簡符號是這節(jié)課的難點(diǎn)．在例題的教學(xué)中，教師在講評時緊緊抓住學(xué)生的心理及時提問：“既然a的相反數(shù)是－a，那么例1中的各數(shù)的相反數(shù)怎樣表示呢？”在學(xué)生理解表示一個數(shù)的相反數(shù)的一般方法后，再引導(dǎo)學(xué)生由一般到特殊的思維得出例2各小題的結(jié)果，抓住了關(guān)鍵，突破了難點(diǎn)．
嘗試練習(xí)，鞏固提高
1． 填空
－（－2.8）=________；?搖+（－7）=________；
－（+3.4）的相反數(shù)是________；－（－2.6）是________的相反數(shù)；相反數(shù)等于本身的數(shù)是________．
2． 根據(jù)a+（－a）=0，由（－8）+x=0，可得x=________；由y+3.75=0可得y=________．
學(xué)生解答，教師講評略．
總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，評價所學(xué)
教師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們對相反數(shù)的意義理解了些什么？還有什么缺憾？評價一下自己這節(jié)課的學(xué)習(xí)情況．
一部學(xué)生談自己對相反數(shù)的意義的理解和這一節(jié)課的收獲． 然后大家共同分享成功（略）．
教師：作業(yè)（略）
綜述：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生來說并不缺乏認(rèn)識基礎(chǔ)，學(xué)生已經(jīng)掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)和數(shù)軸的有關(guān)知識，如何借助數(shù)軸理解互為相反數(shù)的意義，具體地說，就是要解決這樣兩個層次：什么樣的數(shù)叫互為相反數(shù)？怎樣確定一個數(shù)的相反數(shù)？本節(jié)課緊緊圍繞借助數(shù)軸理解互為相反數(shù)的意義這一教學(xué)目標(biāo)，以教學(xué)生如何分析問題為突破口，以提升學(xué)生歸納能力為重點(diǎn)，以讓學(xué)生形成積極探求新知的欲望為情感目標(biāo)，成功設(shè)計出層層遞進(jìn)的“問題鏈”，用問題激活學(xué)生思維，用問題推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程，用問題引導(dǎo)學(xué)生探究，最終以問題的解決落實(shí)教學(xué)目標(biāo)．
