時(shí)間：2023-03-08 15:33:57
序論：在您撰寫大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
在近幾年工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，將大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽融入到數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐中，取得了一定的效果，對(duì)于教師和學(xué)生來講，數(shù)學(xué)競賽都是很好的提升機(jī)會(huì)，從而提高了數(shù)學(xué)課程的整體教學(xué)水平。
大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是由中國數(shù)學(xué)會(huì)主辦的一項(xiàng)面向本科生的全國性高水平學(xué)科競賽，目前已成為全國影響最大、參加人數(shù)最多的學(xué)科競賽之一，參加該項(xiàng)賽事使得教師和學(xué)生都受益匪淺，整體提高了教學(xué)水平。在教學(xué)改革的實(shí)踐中，除了組織專門的教師團(tuán)隊(duì)輔導(dǎo)學(xué)生參賽，還將數(shù)學(xué)競賽融入到平時(shí)的日常教學(xué)中，將競賽培訓(xùn)與日常教學(xué)緊密結(jié)合。
通過大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的平臺(tái)，一方面鞏固了學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，激勵(lì)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，加強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)了大批的優(yōu)秀數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才。另一方面，競賽為教師提供了教學(xué)交流的良好平臺(tái)，促進(jìn)各高校之間數(shù)學(xué)教學(xué)的溝通，提高了教師的業(yè)務(wù)能力和數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)了高等教育學(xué)校數(shù)學(xué)課程建設(shè)的改革。
一、數(shù)學(xué)競賽提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)
全面實(shí)施數(shù)學(xué)素質(zhì)教育、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是新時(shí)期高校教育的主要任務(wù)之一，其根本途徑之一是重視學(xué)生數(shù)學(xué)基本功的培養(yǎng)。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是夯實(shí)數(shù)學(xué)基本功的有效途徑，以賽促學(xué)，在實(shí)戰(zhàn)中提升，不僅能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，而且鍛煉了意志品質(zhì)。這對(duì)于學(xué)生后繼專業(yè)課程的學(xué)習(xí)也能起到良好的促進(jìn)作用，同時(shí)大大增強(qiáng)了學(xué)生在進(jìn)修和就業(yè)中的競爭實(shí)力。
1.以比賽促進(jìn)學(xué)習(xí)，激發(fā)興趣和熱情。高等數(shù)學(xué)類課程一貫以其抽象性、枯燥性讓很多學(xué)生望而生畏，在教學(xué)改革的實(shí)踐中，教師一直在尋找激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的突破口。高等數(shù)學(xué)競賽就是有效的教育手段之一，很好地培養(yǎng)和激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。自2002年起，浙江省高等數(shù)學(xué)教育研究會(huì)開始在全省高校范圍內(nèi)舉辦“浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽”，為配合國家級(jí)、省級(jí)高等數(shù)學(xué)競賽，學(xué)校也舉辦校級(jí)高等數(shù)學(xué)競賽，包括高等數(shù)學(xué)競賽的輔導(dǎo)和賽事舉辦。在這個(gè)過程中，學(xué)校安排教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行競賽輔導(dǎo)。培訓(xùn)中不斷夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，開闊學(xué)生的視野。
教師選擇一些代表性的內(nèi)容進(jìn)行深入講解，在一定層面上在提升式的練習(xí)，其中部分競賽中的試題與考研試題非常類似，很多學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性由此被調(diào)動(dòng)起來。通過參加大學(xué)數(shù)學(xué)競賽，學(xué)生從原來的被動(dòng)接受數(shù)學(xué)知識(shí)變成了積極主動(dòng)地去探討，學(xué)習(xí)的目標(biāo)變得很明確，學(xué)生學(xué)習(xí)更加有動(dòng)力。另外，學(xué)校對(duì)獲獎(jiǎng)學(xué)生的獎(jiǎng)勵(lì)政策，也給予了數(shù)學(xué)教學(xué)很大的政策支持。學(xué)生在準(zhǔn)備參加賽事的過程中，借競賽的平臺(tái)被鼓勵(lì)和激勵(lì)，提升了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。
2.以實(shí)戰(zhàn)促進(jìn)學(xué)習(xí)，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)能力。高等數(shù)學(xué)類課程除了要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，更重要的職責(zé)在于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，即分析問題和解決問題的能力。大學(xué)數(shù)學(xué)競賽對(duì)提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力起到了重要的促進(jìn)作用。在準(zhǔn)備競賽的過程中，教師和學(xué)生要重新梳理基本的定義及定理等相關(guān)內(nèi)容，整理知識(shí)結(jié)構(gòu)和各種題型相應(yīng)的解題方法、技巧，進(jìn)行系統(tǒng)的強(qiáng)化練習(xí)和訓(xùn)練。
通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的更新和拓展，教學(xué)模式的改變，對(duì)原有的教學(xué)方式，從共性問題到個(gè)性問題重新進(jìn)行了板塊式設(shè)計(jì)，通過把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與習(xí)題課相結(jié)合，傳授科學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本原理，突出數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的思想，使學(xué)生的思維能力得到鍛煉，擴(kuò)大了學(xué)生的思維空間，提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法靈活運(yùn)用的能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)能力上升到一個(gè)較高的層面。
參加競賽的同學(xué)，不論是否獲獎(jiǎng)，在自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上都有很大的收獲。如果獲獎(jiǎng)，學(xué)生會(huì)有成功的體驗(yàn)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增加了自信心，為之后的深入學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。即使沒獲獎(jiǎng)，整個(gè)培訓(xùn)過程和學(xué)習(xí)過程也使得學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維得到鍛煉，競賽是一次好的歷練和體驗(yàn)，是一次鞭策與激勵(lì)，為他們下一次的成功打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，競賽是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一次實(shí)戰(zhàn)性的機(jī)會(huì)，很好地鍛煉了學(xué)生的各方面能力。
二、數(shù)學(xué)競賽推動(dòng)了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作
數(shù)學(xué)競賽不僅為廣大學(xué)生提供了展示自我、鍛煉自我的平臺(tái)，同時(shí)也為教師們提供了溝通的平臺(tái)，有利于促進(jìn)學(xué)校間的教學(xué)交流，提高整體的教學(xué)水平。各參賽學(xué)校在彼此交流中，相互借鑒成功經(jīng)驗(yàn)，互通有無。同時(shí)，交流也促進(jìn)各學(xué)校在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的投入力度，在學(xué)校政策支持、師資力量以及教學(xué)方法等方面都有不斷的提升。高等數(shù)學(xué)競賽通過有形和無形的方式，積極地開展高等數(shù)學(xué)教學(xué)方面的學(xué)術(shù)交流，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教學(xué)研究，發(fā)揮了一些獨(dú)特的作用。
1.多元教學(xué)手段，促進(jìn)教學(xué)改革。在數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)的過程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)有疑問需要及時(shí)解答，這也促進(jìn)了網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)的快速發(fā)展。除了利用QQ、微信等實(shí)時(shí)通訊工具進(jìn)行答疑之外，數(shù)學(xué)競賽促進(jìn)了網(wǎng)絡(luò)教學(xué)手段的改革。建設(shè)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，提供教師之間、師生之間、學(xué)生之間的一個(gè)有效交流的平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生間的很好的互助模式。同時(shí)，利用豐富的數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)資源等平臺(tái)，提高學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力，從而實(shí)現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)全方面的整體提高。
2.培養(yǎng)人才，探索精英教育的有效途徑。數(shù)學(xué)競賽開闊學(xué)生視野，提高整體學(xué)習(xí)水平，同時(shí)也是在教學(xué)中探索精英教育的一個(gè)有效實(shí)踐。參加高數(shù)競賽的同學(xué)相對(duì)來講，要求數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)優(yōu)秀人才，數(shù)學(xué)競賽是一個(gè)實(shí)踐的契機(jī)。例如，在實(shí)踐中，建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)班，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生集中教學(xué)，其目的就是培養(yǎng)和發(fā)掘有潛力的優(yōu)秀學(xué)生。探索新的數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)模式，為培養(yǎng)創(chuàng)新型人才探索一條新的途徑。
3.鍛煉教師，促進(jìn)教師隊(duì)伍的建設(shè)。將數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)融入到日常教學(xué)以及競賽的培訓(xùn)工作都需要教師認(rèn)真設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，積極探索教學(xué)教改方法，這都激發(fā)了教師教學(xué)改革的熱情，直接提高了數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平和大學(xué)數(shù)學(xué)課教師的數(shù)學(xué)功底和教學(xué)能力，提升公共數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)效果和整體實(shí)力。
高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，極大地激發(fā)了教師提高教學(xué)質(zhì)量的熱情，促進(jìn)了師資隊(duì)伍的建設(shè)，從而整體提高了數(shù)學(xué)的教學(xué)水平。同時(shí)，數(shù)學(xué)競賽是教學(xué)反饋的機(jī)會(huì)，通過競賽及時(shí)反思教學(xué)，從而促進(jìn)教師自身提高，促進(jìn)教學(xué)水平提高。比如，可以根據(jù)競賽反饋以及競賽交流，對(duì)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)大綱、教學(xué)設(shè)計(jì)、課程體系等方面進(jìn)行再思考，在教學(xué)理念、教學(xué)技能和方法等方面提升，從而不斷探索更加適合的培養(yǎng)模式、課程平臺(tái)體系等。
三、具體措施與探索
從第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽開始，為了鼓勵(lì)更多青年學(xué)子參與到賽事中，我們從學(xué)校、教師、學(xué)生多個(gè)角度實(shí)施了具體措施，效果良好。
1.學(xué)校政策大力支持保障競賽良性開展。數(shù)學(xué)類課程是高校大學(xué)生理、工、管各專業(yè)的基礎(chǔ)課程，學(xué)校大力支持學(xué)生參與各類競賽，尤其是大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。學(xué)校在競賽所需的場地、費(fèi)用、資源等方面都非常支持，對(duì)參賽獲獎(jiǎng)學(xué)生也有政策支持。學(xué)校相關(guān)部門每年在比賽前期組織競賽培訓(xùn)。整個(gè)流程從學(xué)生報(bào)名、初賽篩選、競賽培訓(xùn)、到參加比賽，整個(gè)過程都有條不紊地進(jìn)行。
另外，對(duì)于在國家級(jí)、省級(jí)大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中獲獎(jiǎng)的同學(xué)都有不同級(jí)別的學(xué)分獎(jiǎng)勵(lì)，這對(duì)于學(xué)生在以后的保研、考研、就業(yè)等方面都會(huì)有很大的幫助。學(xué)校相關(guān)政策的鼓勵(lì)和支持，極大地刺激了學(xué)生參與的積極性。
2.優(yōu)秀的競賽教學(xué)團(tuán)隊(duì)。為了更好地參加數(shù)學(xué)競賽，學(xué)校組建了一支優(yōu)秀的教師培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)。培訓(xùn)教師年齡層次合理，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富，分工合作，利用周末等休息時(shí)間為學(xué)生進(jìn)行講解、答疑等輔導(dǎo)工作。
教學(xué)團(tuán)隊(duì)廣泛地查閱相關(guān)的參考書，密切關(guān)注和留意高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的動(dòng)態(tài)，不斷地自我學(xué)習(xí)，提高教學(xué)能力以及自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)團(tuán)隊(duì)在培訓(xùn)中將競賽與考研相結(jié)合，在培訓(xùn)中不僅注重基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)在學(xué)生可接受的范圍內(nèi)不斷提高，研究教學(xué)方法，使得學(xué)生更易于接受和理解。另外，教學(xué)團(tuán)隊(duì)將競賽與平時(shí)教學(xué)密切結(jié)合，在教學(xué)中滲透競賽的思想和方法，開闊學(xué)生的視野。
在高等數(shù)學(xué)競賽中取得了一定的成績，但在組織和培訓(xùn)的過程中仍發(fā)現(xiàn)一些不成熟的地方有待改善。比如部分同學(xué)對(duì)競賽輔導(dǎo)的依賴性很強(qiáng)，過于看重競賽成績，反而不利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)精神。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，一是幫助學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度，不以考試和競賽為學(xué)習(xí)目的，樹立良好的價(jià)值觀。
引導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)的首要目的并不是為了獲獎(jiǎng)，而是為了能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更好地奠定學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)思維。高等數(shù)學(xué)競賽是推動(dòng)高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究，促進(jìn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)交流，推廣教學(xué)研究成果，探索提高教學(xué)改革，積累資源的共享平臺(tái)。對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力都有很大的幫助。對(duì)于教師提升自身教學(xué)素養(yǎng)、促進(jìn)交流協(xié)作、提高整體教學(xué)質(zhì)量都有積極的作用。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)競賽；數(shù)學(xué)分析；高等代數(shù)；解析幾何
1.引 言
全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是一項(xiàng)面向本科生的全國性高水平學(xué)科競賽，以激勵(lì)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新型人才為目的.從2009年開始舉辦，每屆初賽定在當(dāng)年10月底，復(fù)賽定于次年3月，參賽人數(shù)逐年上升，已成為全國大學(xué)生中最具影響力的賽事之一.
本文針對(duì)這幾屆的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題（數(shù)學(xué)類）做了一些歸納、分析，并通過例子對(duì)解題方法進(jìn)行一些總結(jié).
2.競賽題目分析
通過對(duì)2009年以來初賽及復(fù)賽的競賽題進(jìn)行分析，我們看出競賽題主要包含數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何三門課程，其中數(shù)學(xué)分析的比重50%，高等代數(shù)的比重35%，解析幾何的比重15%，具體內(nèi)容如下：
涉及數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容主要包含一元函數(shù)、多元函數(shù)及級(jí)數(shù)等，具體有：利用Taylor公式求變限積分的極限，將微分中值定理應(yīng)用在確定函數(shù)或函數(shù)列零點(diǎn)等問題上，利用構(gòu)造連續(xù)函數(shù)的方法來證明推廣的微積分學(xué)基本定理，導(dǎo)函數(shù)的介值性在不等式方面的應(yīng)用，利用比較法則或被積函數(shù)的單調(diào)性討論反常積分的斂散性或反常積分的極限等問題，利用平均值不等式、Schwarz不等式、被積函數(shù)的單調(diào)性、變限積分等來證明積分不等式或反常積分不等式，用一元凸函數(shù)的連續(xù)性判斷二元函數(shù)的連續(xù)性，用Hesses矩陣求二元函數(shù)極值問題，將三元函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極值問題，用Green公式、坐標(biāo)變換、冪級(jí)數(shù)展開等計(jì)算二重積分，用迫斂性及平均值不等式求數(shù)列極限，構(gòu)造條件收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)使其收斂于任何指定的數(shù)，利用Cauchy收斂準(zhǔn)則判斷函數(shù)列一致收斂，利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性討論和函數(shù)的性質(zhì)，利用冪級(jí)數(shù)展式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和等內(nèi)容.
涉及高等代數(shù)的內(nèi)容主要包含矩陣、線性空間與線性變換、線性函數(shù)等，具體有：利用列相等證明矩陣的相等，利用正定矩陣性質(zhì)來討論半正定矩陣同時(shí)對(duì)角化，利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型判斷矩陣方程是否有解，利用矩陣相似、合同的性質(zhì)求解矩陣中未知量，利用不變子空間證明矩陣相似于由可逆矩陣和冪零矩陣構(gòu)成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣，利用矩陣乘積AB與BA的非零特征值不變求解未知矩陣，利用多項(xiàng)式的性質(zhì)證明矩陣相似不會(huì)因數(shù)域的變化而改變，利用不變子空間來研究線性變換的特征值及特征向量，通過選取一組基來確定空間維數(shù)及線性變換可對(duì)角化，利用矩陣的跡推導(dǎo)線性變換的跡及其性質(zhì)，線性函數(shù)轉(zhuǎn)化成方程組利用子空間的直和證明等式，利用雙線性函數(shù)是跡的應(yīng)用，利用線性函數(shù)的對(duì)偶基來證明所給定矩陣為數(shù)量矩陣.
涉及解析幾何的內(nèi)容主要包含空間直線及曲面方程等，具體有：利用向量垂直之間的關(guān)系確定直線方程，確定圓柱的軸線，從而確定圓柱面的方程，一條直線繞另一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成曲面的可能情形，給定曲面上的一些點(diǎn)判斷曲面的類型，利用過原點(diǎn)的求解截線為圓周的平面方程，利用直線的參數(shù)方程求解錐面方程，給定四個(gè)點(diǎn)利用球面的一般方程求解球面方程.
通過競賽題所涉及知識(shí)分析看出，競賽題目基本沒有超出這三門課程通常教材范圍，但是競賽分?jǐn)?shù)卻不是太高，是何原因呢？我們認(rèn)為可能，由于學(xué)生掌握的基本知識(shí)不夠扎實(shí)，缺少一些獨(dú)立思考，還有知識(shí)間的聯(lián)系與運(yùn)用不太熟悉.因此，我們應(yīng)該在平時(shí)的學(xué)習(xí)中首先要從基礎(chǔ)抓起，做到?jīng)]有不熟悉的知識(shí)點(diǎn)，理解并掌握每個(gè)定義、定理的證明及應(yīng)用.其次建立知識(shí)框架，明晰知識(shí)之間的關(guān)系，以及知識(shí)在學(xué)科之間重合的部分，需要著重把握.最后我們應(yīng)該通過做一些綜合性比較強(qiáng)的題目，來熟練使用知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)獨(dú)立思考、分析問題的能力，還要學(xué)習(xí)一些解題技巧，從而提高數(shù)學(xué)思維，這樣可以更好地提高處理問題的能力.
【關(guān)鍵詞】大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽；矩陣；矩陣方程；特征值
【中圖分類號(hào)】O151.2【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】C
【基金項(xiàng)目】河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目（2014GGJS-193）
一、引言
2015年第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（數(shù)學(xué)類）預(yù)賽試題第三大題：
設(shè)A為n階實(shí)方陣，其n個(gè)特征值皆為偶數(shù).試證明關(guān)于X的矩陣方程X+AX-XA2=0只有零解.
證明如下.
設(shè)C=I+A，B=A2，A的n個(gè)特征值為λ1，λ2，…，λn，則B的n個(gè)特征值為λ21，λ22，…，λ2n；
C的n個(gè)特征值為μ1=λ1+1，μ2=λ2+1，…，μn=λn+1；C的特征多項(xiàng)式為pC（λ）=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μn）.
若X為X+AX-XA2=0的解，則有CX=XB；進(jìn)而C2X=XB2，…，CkX=XBk，…，結(jié)果0=pC（C）X=XpC（B）=X（B-μ1I）…（B-μnI）.注意到B的n個(gè)特征值皆為偶數(shù)，而C的n個(gè)特征值皆為奇數(shù)，故（B-μ1I），…，（B-μnI）皆為可逆矩陣，結(jié)果由0=X（B-μ1I）…（B-μnI）立得X=0.
受此啟發(fā)，考慮一般的問題：方陣A與B滿足什么條件時(shí)，關(guān)于X的矩陣方程AX=XB只有零解.
二、主要結(jié)論
定義1設(shè)A∈Pn×n，λ∈P，如果存在X∈Pn且X≠0，使AX=λX，則稱λ是矩陣A的一個(gè)特征值，稱X是矩陣A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.
定義2設(shè)A∈Pn×n，λ∈P.矩陣λE-A的行列式
|λE-A|=λ-a11λ-a12…λ-a1n
λ-a21λ-a22…λ-a2n
λ-an1λ-an2…λ-ann
稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式，記為fA（λ）.
注fA（λ）是一個(gè)關(guān)于λ的n次多項(xiàng)式，其在P中的根即為矩陣A的全部特征值.
引理1[哈密頓-凱萊（Hamilton-Caylay）定理]設(shè)A∈Pn×n，fA（λ）=|λE-A|是矩陣A的特征多項(xiàng)式，則
fA（A）=An-（a11+a22+…+ann）An-1+…+（-1）n|A|E=0.
注這表明矩陣A的特征多項(xiàng)式是矩陣A的零化多項(xiàng)式.
引理2設(shè)A∈Cn×n，B∈Cm×m，則fA（B）（fB（A））是m階（n階）可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無公共特征值.
證設(shè)A的n個(gè)特征值為λ1，λ2，…，λn，B的m個(gè)特征值為μ1，μ2，…，μm，則
fA（λ）=|λE-A|n=（λ-λ1）（λ-λ2）…（λ-λn），
fB（λ）=|λE-B|m=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μm），
于是，fA（B）=（B-λ1E）（B-λ2E）…（B-λnE）.
注意到對(duì)任意1≤k≤n，有
|B-λkE|m=（-1）m|λkE-B|m=（-1）mfB（λk）=（-1）m（λk-μ1）…（λk-μm）=（-1）m∏mj=1（λk-μj），
故|fA（B）|m=|B-λ1E||B-λ2E|…|B-λnE|=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）.
因此，若fA（B）可逆，則
|fA（B）|m=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）≠0，
于是λi≠μj（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），從而矩陣A與B無公共特征值；反之亦真.
同理可證fB（A）是n階可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無公共特征值.（證完）
定理1設(shè)A∈Cn×n，B∈Cm×m，A與B無公共特征值，則矩陣方程AX=XB只有零解，其中X是n×m矩陣.
首先，X=0是AX=XB的一個(gè)解.其次，設(shè)X=X0是AX=XB的任一解，tAX0=X0B，于是A2X0=A（AX0）=A（X0B）=（X0B）B=X0B2，進(jìn)而A3X0=X0B3，…，AkX0=X0Bk，…，（k∈N）.注意到A的特征多項(xiàng)式fA（λ）=λn+∑nk=1（-1）kbkλn-k，其中bk（k=1，2，…，n）是A的所有k階主子式之和，于是有fA（A）X0=X0fA（B）.
由引理1知fA（A）=0，則X0fA（B）=0，又A與B無公共特征值，則由引理2知fA（B）是m階可逆矩陣，于是X0=0.因此，矩陣方程AX=XB只有零解.（證完）
三、應(yīng)用
解決第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（數(shù)學(xué)類）預(yù)賽試題第三大題.
數(shù)學(xué)競賽按專業(yè)性質(zhì)分為數(shù)學(xué)專業(yè)與非數(shù)學(xué)專業(yè)兩類。數(shù)學(xué)專業(yè)預(yù)賽與決賽內(nèi)容主要包括:《數(shù)學(xué)分析》,《高等代數(shù)》與《解析幾何》三門課程中的內(nèi)容。非數(shù)學(xué)專業(yè)預(yù)賽內(nèi)容則主要是:《工科高等數(shù)學(xué)》中的內(nèi)容。但從第五屆開始，初賽內(nèi)容不變，決賽內(nèi)容將有所增加。
參加第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的預(yù)報(bào)名人數(shù)達(dá)到46708人，其中非數(shù)學(xué)專業(yè)35502人，數(shù)學(xué)專業(yè)11206人。目前已成為影響范圍較廣、參加人數(shù)較多的國家級(jí)學(xué)科競賽。筆者相信在未來的幾年中，預(yù)報(bào)名人數(shù)還會(huì)持續(xù)增長，這門學(xué)科競賽的影響力也會(huì)越來越大，在全國本科院校中得以普及。
本文所要闡述的是如何在普通高校本科生中建立一個(gè)長效機(jī)制來開展大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。包括如何穩(wěn)固參加預(yù)賽的人數(shù)、制定合理有效的培訓(xùn)內(nèi)容、師資隊(duì)伍的建設(shè)以及經(jīng)費(fèi)來源等。
1普通高校開展數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)的必要與可行性分析
在高科技產(chǎn)品日新月異的信息時(shí)代，筆者認(rèn)為:數(shù)學(xué)是科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必備技術(shù)工具，是各門學(xué)科發(fā)展的基礎(chǔ)和升華。因此數(shù)學(xué)教育在現(xiàn)化教育中所占據(jù)地位舉足輕重。數(shù)學(xué)競賽的舉辦和發(fā)展為數(shù)學(xué)教育增添了新的活力，提供了新的契機(jī)，發(fā)掘了新的人才。從微觀角度來說，為了提高學(xué)生的創(chuàng)新思維和發(fā)散性思維，在數(shù)學(xué)競賽前進(jìn)行培訓(xùn)顯得尤為重要。從宏觀角度來說，賽前培訓(xùn)對(duì)推進(jìn)教學(xué)改革和提高教學(xué)質(zhì)量，有著多方而的積極意義。應(yīng)與課堂教學(xué)相互配合，相互滲透，但又有著課堂教學(xué)所無法代替的重要作用。
首先，數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)能夠鞏固學(xué)生在課內(nèi)所學(xué)的知識(shí)、擴(kuò)大學(xué)生的視野、拓寬解題思路、增強(qiáng)邏輯推理能力以及解題和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力;其次，數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)能夠幫助學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法，促使大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更好地進(jìn)行;再次，數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)思維能力發(fā)展，增強(qiáng)探索精神和創(chuàng)新才能皆有促進(jìn)作用;最后，數(shù)學(xué)競賽在發(fā)現(xiàn)和發(fā)揮大學(xué)生的特長，選拔和培養(yǎng)具有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生等方而也有著積極的意義。 參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽除了上述的必要條件之外，還需具備四個(gè)充分條件:如何穩(wěn)固參加預(yù)賽的人數(shù)、制定合理有效的培訓(xùn)內(nèi)容、師資隊(duì)伍的建設(shè)以及經(jīng)費(fèi)來源等。首先，如何有效地組織大學(xué)生參加競賽，可謂是四個(gè)條件中最重要的一項(xiàng)，也是下一節(jié)筆者所研究的重點(diǎn);另外，作為數(shù)學(xué)競賽的主要內(nèi)容:《高等數(shù)學(xué)》是工科類學(xué)生必修的基礎(chǔ)理論課，《數(shù)學(xué)分析》, 《高等代數(shù)》,《解析幾何》等課程是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課。這些是數(shù)學(xué)競賽得以順利開展的基礎(chǔ)。第三，調(diào)動(dòng)部分高校專仟的數(shù)學(xué)教師組成競賽培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)也是一項(xiàng)重要的環(huán)節(jié)，筆者將會(huì)在第三節(jié)做詳細(xì)的研究。最后是競賽活動(dòng)經(jīng)費(fèi)，筆者認(rèn)為可以從以下三個(gè)方而獲得:第一方而，每所高校都會(huì)有專項(xiàng)的創(chuàng)新活經(jīng)費(fèi)，可以從此項(xiàng)經(jīng)費(fèi)中申請(qǐng)一部分;第二方而，各賽區(qū)的主辦方會(huì)拔給每個(gè)學(xué)校一些經(jīng)費(fèi);第三方而，適當(dāng)?shù)叵騾⒓优嘤?xùn)的學(xué)生收取(或變相地收取)一部分。這些經(jīng)費(fèi)主要用于:參加競賽的學(xué)生報(bào)名費(fèi)、培訓(xùn)教師的課時(shí)費(fèi)和學(xué)生競賽時(shí)的考試相關(guān)費(fèi)用等。
基于上述分析，在普通高校開展數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)以及組織學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是完全可行的并具有實(shí)際意義的。
2普通高校學(xué)生現(xiàn)狀分析
為了吸引、鼓勵(lì)更多的學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)，必須先了解現(xiàn)在普通高校本科生的生源現(xiàn)狀及其學(xué)習(xí)狀態(tài)。不得不承認(rèn)，全國高校自擴(kuò)招以來，普通高校大學(xué)生的質(zhì)量普遍下降。主要原因有兩個(gè):一是大學(xué)的教育已由精英式轉(zhuǎn)為大眾式;二是隨著擴(kuò)招的進(jìn)行，大多數(shù)優(yōu)質(zhì)生源進(jìn)入了985或211這樣的重點(diǎn)高校，這樣就導(dǎo)致普通高校中的優(yōu)質(zhì)生源比例相對(duì)減少。
限于優(yōu)質(zhì)生源比例小的問題，再加上數(shù)學(xué)理論繁雜與深?yuàn)W，學(xué)習(xí)起來困難重重，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)會(huì)產(chǎn)生為難情緒從而心生畏懼。還有小部分的學(xué)生在進(jìn)校時(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就比較差，(或由此產(chǎn)生的)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性很低。還有一部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)無實(shí)際用途，從主觀上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣消極?；谝陨蠋c(diǎn)原因加上一些來自普通高校教學(xué)條件的限制，很多大學(xué)生的實(shí)際數(shù)學(xué)水平較低，所引發(fā)的直接結(jié)果就是學(xué)習(xí)成績下降、考試分?jǐn)?shù)偏低、補(bǔ)考人數(shù)增多，更有甚者一些學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)不及格而無法畢業(yè)。
現(xiàn)階段普通高校多數(shù)強(qiáng)調(diào)實(shí)踐，所以在大學(xué)一、二年級(jí)基礎(chǔ)階段會(huì)大量調(diào)減理論課時(shí)，特別是有關(guān)數(shù)學(xué)的理論課程。這樣就導(dǎo)致了教師在上課時(shí)會(huì)對(duì)課程進(jìn)行調(diào)整，例如內(nèi)容增加、進(jìn)度加快等等。數(shù)學(xué)課中部分核心內(nèi)容由于難以理解，權(quán)衡之下只好放棄。因課時(shí)問題，數(shù)學(xué)習(xí)題課早已名存實(shí)亡。關(guān)于這一點(diǎn)在文中筆者會(huì)有詳盡的論述。一些普通高校強(qiáng)調(diào)少講精講，但數(shù)學(xué)本身就是一門高深抽象的學(xué)科，沒有理論基礎(chǔ)實(shí)踐就無從說起。一些內(nèi)容略講或是不講，都有可能在學(xué)生在今后的實(shí)際應(yīng)用中造成影響。但即使知道刪減理論會(huì)有諸多的弊病，許多普通高校還是在課程中減少了很多的數(shù)學(xué)內(nèi)容。
多數(shù)普通高校的本科學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容少，而且掌握的不扎實(shí)不牢固。這一點(diǎn)與數(shù)學(xué)競賽產(chǎn)生了嚴(yán)重的予盾。那么哪些學(xué)生適合參加數(shù)學(xué)競賽呢?筆者認(rèn)為有兩類學(xué)生比較合適一類是自主學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)非常感興趣的學(xué)生;另一類就是考研的學(xué)生。這兩部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的求知欲望非常強(qiáng)烈，因此成為是參加數(shù)學(xué)競賽的主力軍。
3穩(wěn)固參賽學(xué)生群體策略
據(jù)調(diào)查顯示，有的普通高校因?yàn)檫@個(gè)問題而放棄參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。即便參加人數(shù)也少的可憐，以我校為例，我校于2011年第一次參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，當(dāng)時(shí)僅有一個(gè)非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生參加了競賽，其余29名數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也是被志愿的。為了保障全國性的數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)在我校順利開展，我校實(shí)行了以利益驅(qū)動(dòng)的辦法。使學(xué)生有兩方而的既得利益:選修學(xué)分和考研輔導(dǎo)。
為了穩(wěn)固參賽學(xué)生的群體，我校主要從以下三方而開展了工作。
3. 1有效宣傳
根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，通過學(xué)生(或輔導(dǎo)員)在學(xué)生中進(jìn)行數(shù)學(xué)競賽宣傳以及在學(xué)生中發(fā)放宣傳小冊子的方法收效甚微。為了能夠在學(xué)生中得到有效的宣傳，我院在大一的第二學(xué)期末，由《高等數(shù)學(xué)》任課教師負(fù)責(zé)向自己的任課班級(jí)做大量宣傳，向?qū)W生講清楚參加數(shù)學(xué)競賽所能獲得的利益，通過自愿報(bào)名的方式鼓勵(lì)學(xué)生積極參與。
3. 2設(shè)立選修課
為能夠順利進(jìn)行數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)培訓(xùn)，我們開設(shè)兩門40學(xué)時(shí)的選修課《高等數(shù)學(xué)選修》與《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研修》(這兩門課程的學(xué)分均為2學(xué)分，他們的本質(zhì)是數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)課程)。這樣我們就解決了培訓(xùn)的時(shí)間與教室的安排問題(當(dāng)然，我們可以給教務(wù)部門一些時(shí)間安排上的建議)。由于大學(xué)生在大學(xué)期間要修滿一定的選修學(xué)分，所以這兩門課程的開設(shè)對(duì)學(xué)生是有一定吸引力的。另外，培訓(xùn)內(nèi)容要盡可能讓學(xué)生理解。如果內(nèi)容難度過大，就會(huì)造成多數(shù)學(xué)生在課堂的注意力不集中，甚至來上課僅僅是為了走形式。這樣就達(dá)不到吸引學(xué)生參加競賽的目的。總的來說，就是用選修課的學(xué)分來吸引學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在學(xué)生能夠接受的基礎(chǔ)之上對(duì)其加以培訓(xùn)，并弱化對(duì)選修課的考核。提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)信心，自主自愿報(bào)名參加數(shù)學(xué)競賽。
考慮到普通高校的教學(xué)內(nèi)容(無論是專業(yè)的還是非專業(yè)的)無法滿足競賽的要求，而且還有一小部分競賽內(nèi)容不在工科教學(xué)大綱的范圍內(nèi)。我校選擇了開設(shè)《高等數(shù)學(xué)選修》、《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研修》兩門選修課《高等數(shù)學(xué)選修》是為參加數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽的工科類學(xué)生準(zhǔn)備的《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研修》是為專業(yè)類的本科學(xué)生而開設(shè)的。這兩門選修課的授課內(nèi)容嚴(yán)格遵從《中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽大綱》的要求。對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是有百利而無一害的。
3. 3考研輔導(dǎo)
數(shù)學(xué)競賽的難度大大超過了考研數(shù)學(xué)的難度，為了吸引更多考研的學(xué)生，我們的輔導(dǎo)以考研數(shù)學(xué)的難度為基礎(chǔ)的。讓學(xué)生在參賽的同時(shí)得到專業(yè)教師的考研輔導(dǎo)，加大學(xué)生對(duì)競賽的興趣。競賽輔導(dǎo)的基礎(chǔ)目標(biāo)是考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)，重要目標(biāo)是數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)。我們的輔導(dǎo)內(nèi)容遵從競賽大綱、以歷年考研真題結(jié)合歷年的競賽真題的解題技巧制定講授內(nèi)容。這樣既能得學(xué)分，又能得到考研數(shù)學(xué)的輔導(dǎo)，在幫助考研學(xué)生的同時(shí)也達(dá)到了穩(wěn)定參加數(shù)學(xué)競賽人數(shù)的目的。
筆者認(rèn)為上述條件能夠吸引很大一批學(xué)生選修《高等數(shù)學(xué)選修》與《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研修》。快速擴(kuò)大數(shù)學(xué)競賽在學(xué)生中的影響。一方而學(xué)生會(huì)因?yàn)檫x修學(xué)分易得而在學(xué)生群體廣泛宣傳;另一方而學(xué)生會(huì)因?yàn)槟軡M足自己的求知欲望而踴躍報(bào)名，還有一些學(xué)生會(huì)因能得到免費(fèi)的考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)而進(jìn)行宣傳。在參加競賽培訓(xùn)的人數(shù)得以保障的情況想，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中選擇一些較好的參加競賽，這樣就能夠提高獲獎(jiǎng)率，也可以減少一些費(fèi)用(比如報(bào)名費(fèi)、考務(wù)費(fèi)等)。
另外，我校的學(xué)生在數(shù)學(xué)競賽中獲得的獎(jiǎng)項(xiàng)，在物質(zhì)上是沒有任何獎(jiǎng)勵(lì)的。不過，按獲得的獎(jiǎng)項(xiàng)的等級(jí)不同會(huì)獎(jiǎng)勵(lì)不同的創(chuàng)新學(xué)分，創(chuàng)新學(xué)分可作為選修學(xué)分。比如，在初賽中獲得國家一等獎(jiǎng)，會(huì)得5個(gè)創(chuàng)新學(xué)分;二等獎(jiǎng)，4個(gè)創(chuàng)新學(xué)分，依次類推。在決賽中獲得獎(jiǎng)項(xiàng)，在我校還從未有過，但筆者相信通過我校師生的共同努力，在不遠(yuǎn)的將來一定會(huì)實(shí)現(xiàn)這個(gè)夢想。
4建立一支德能兼?zhèn)涞呐嘤?xùn)團(tuán)隊(duì)
為了能夠更好地讓學(xué)生適應(yīng)競賽試題題型，組建一支具有奉獻(xiàn)精神和敬業(yè)精神的培訓(xùn)教師團(tuán)隊(duì)是關(guān)鍵。組建這樣的隊(duì)伍需要兩個(gè)條件。首先，培訓(xùn)教師雖然不計(jì)報(bào)酬但不能沒有報(bào)酬，否則會(huì)使培訓(xùn)的教師缺乏教學(xué)興趣。由于我校的數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)是以選修課的形式進(jìn)行教學(xué)的，故大部分的報(bào)酬是由學(xué)校以課時(shí)費(fèi)的形式來支付的。但是與培訓(xùn)教師花費(fèi)大量時(shí)間和精力進(jìn)行試題和教法的研究相比，他們所得的課時(shí)費(fèi)與付出是無法成正比的。其次，大學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)可以看作我們?nèi)粘＝虒W(xué)的有益補(bǔ)充。培訓(xùn)教師必須有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教學(xué)方法，在解題能力和表達(dá)能力有較高的水平。同時(shí)，還要求培訓(xùn)教師廣泛地查閱課外參考書、新近的考研參考書和各省市及國家的數(shù)學(xué)競賽試卷等。可以說培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)業(yè)務(wù)水平及敬業(yè)精神的高低直接決定著數(shù)學(xué)競賽成績的好壞。
以我校為例數(shù)學(xué)專業(yè)的培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)有五人，非數(shù)學(xué)專業(yè)的團(tuán)隊(duì)有四人。他們每人分別負(fù)責(zé)一部分內(nèi)容。大家的同感是:任何一門課程的全部培訓(xùn)內(nèi)容由一人完成幾乎是不可能的，競賽培訓(xùn)備課所需的時(shí)間與精力不是正常課程備課所能比擬的。甚至，有時(shí)我們在一學(xué)時(shí)的時(shí)間里只能講解一道例題，不是我們的培訓(xùn)教師沒有能力，而是我們在將知識(shí)教授給學(xué)生們的同時(shí)還要保證學(xué)生能順利消化，扎實(shí)的掌握解題技巧。
據(jù)筆者調(diào)查，各普通高校很少有專門的數(shù)學(xué)教師來輔導(dǎo)將要考研學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)。由于數(shù)學(xué)競賽的難易程度在考研數(shù)學(xué)的難度之上，故數(shù)學(xué)競賽的培訓(xùn)教師完全勝任考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)。這樣一個(gè)專門的考研輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)是學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)和所有將要考研的學(xué)生非常期待的。所以將考研團(tuán)隊(duì)與數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)融為一體，從各個(gè)角度上看都是可以實(shí)現(xiàn)的，也是具有現(xiàn)實(shí)意義的。
5 結(jié)語
【Key words】The chinese mathematics competitions； Training mode； Innovation
全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽自2009年舉辦以來，已連續(xù)開展了六屆，全國26個(gè)省（區(qū)、市）的數(shù)百所大學(xué)組織了學(xué)生參賽。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽作為一項(xiàng)面向本科生的全國性高水平學(xué)科競賽，為大學(xué)生提供了一個(gè)展示數(shù)學(xué)基本功和數(shù)學(xué)思維的舞臺(tái)，激勵(lì)了大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，根據(jù)學(xué)校及學(xué)生的實(shí)際情況，探討合理、高效、系統(tǒng)的競賽培訓(xùn)方式有利于提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平和推動(dòng)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革建設(shè)。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（下文中簡稱數(shù)學(xué)競賽）分為數(shù)學(xué)專業(yè)組和非數(shù)學(xué)專業(yè)組，本文主要探討本科層次第二批次招生的理工科學(xué)校非數(shù)學(xué)專業(yè)的競賽培訓(xùn)模式。
1 培訓(xùn)方式的改進(jìn)與交流平臺(tái)的建立
1.1 實(shí)現(xiàn)培訓(xùn)方式式的多樣化
傳統(tǒng)的教學(xué)與培訓(xùn)是指導(dǎo)教師課堂講授、學(xué)生被動(dòng)接受為主的方式，在此培訓(xùn)方式下，學(xué)生需在較短時(shí)間內(nèi)接受、理解大量的信息，難度高，強(qiáng)度大，因此很難達(dá)到良好的培訓(xùn)效果。要達(dá)到良好的培訓(xùn)效果必須以本著以學(xué)生為主體[1]的原則實(shí)現(xiàn)培訓(xùn)方式的多樣化。
除了指導(dǎo)教師講授，學(xué)生聽課的培訓(xùn)模式外，可采用的培訓(xùn)方式有：（1）學(xué)生分組討論，指導(dǎo)老師可先將同一類型的題目分發(fā)至各個(gè)小組，各小組組織時(shí)間做題，將做題結(jié)果交回給指導(dǎo)老師，指導(dǎo)老師進(jìn)行匯總講解；（2）學(xué)生自己講解題目，將題目指派到學(xué)生名下，課堂培訓(xùn)時(shí)由學(xué)生自己講解其解題思路，再由老師點(diǎn)評(píng)更正；（3）對(duì)基礎(chǔ)扎實(shí)，反應(yīng)較快的同學(xué)增加額外的培訓(xùn)時(shí)間，由指導(dǎo)老師引導(dǎo)，組織小班討論、講解；（4） 定期進(jìn)行測試，請(qǐng)成績優(yōu)秀的同學(xué)與其他師生一起分享解題心得。
1.2 建立良好、高效的交流平臺(tái)
良好、高效的交流有利于問題的解決，有利于促進(jìn)學(xué)生之間、師生之間的相互學(xué)習(xí)[2]?？蓜?chuàng)建數(shù)學(xué)競賽的QQ群作為交流平臺(tái)，要求所有指導(dǎo)老師與參賽學(xué)生都加入該群，學(xué)生可按年級(jí)或?qū)I(yè)自行組成討論小組。指導(dǎo)老師與學(xué)生都可將相關(guān)的資料上傳至QQ共享，供大家下載、學(xué)習(xí)。一方面，學(xué)生在課堂聽課之外有相應(yīng)的習(xí)題供其練習(xí)與鞏固，對(duì)于課堂以及練習(xí)中遇到疑問，學(xué)生在自主思考之后也未能解決的情況下與老師進(jìn)行溝通，及時(shí)地解決了疑問。另一方面，學(xué)生將待解決的題目發(fā)至對(duì)話區(qū)，所有學(xué)生及老師均可對(duì)題目發(fā)表自己的觀點(diǎn)，在討論的過程中去尋找解題思路，這讓所有參與討論的人都深刻體會(huì)到別人從什么角度去思考解決同樣的問題，讓所有學(xué)生與老師都受益匪淺。
2 培訓(xùn)計(jì)劃的制定與競賽梯隊(duì)的形成
2.1 制定循序漸進(jìn)的培訓(xùn)計(jì)劃
單一的賽前集中培訓(xùn)要求學(xué)生能在短時(shí)間內(nèi)理解、消化大量的信息，可能導(dǎo)致一部分學(xué)生因跟不上進(jìn)度而中途退出，因此制定循序漸進(jìn)的培訓(xùn)計(jì)劃能保障培訓(xùn)夠順利進(jìn)行。培訓(xùn)可分為三個(gè)步驟：步驟一，入門培訓(xùn)。這一步驟可在學(xué)年的第一學(xué)期進(jìn)行，對(duì)高數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)與知識(shí)點(diǎn)補(bǔ)充，并從課本和考研題中選取難度適中的題目作為練習(xí)題。步驟二，強(qiáng)化訓(xùn)練。這一步驟可在暑期時(shí)進(jìn)行，內(nèi)容為中等難度的競賽題。步驟三，模擬沖刺。這一步驟在學(xué)年的第二學(xué)期數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽前進(jìn)行，指導(dǎo)教師先將模擬試題上傳至QQ共享，由學(xué)生先自行測驗(yàn)，之后再在培訓(xùn)時(shí)講解。也可讓學(xué)生講解自己的思路和看法，形成良好的交流、探討氛圍。通過入門、強(qiáng)化與沖刺這三個(gè)階段，學(xué)生洞察題意和解決問題的能力會(huì)有較大的提高。
2.2 實(shí)現(xiàn)分層培訓(xùn)，形成持續(xù)的競賽梯隊(duì)
參賽學(xué)生大致可分為三個(gè)層次：初次參加競賽的大二學(xué)生；已參加過1～2次競賽的學(xué)生；備戰(zhàn)考研的學(xué)生。各年的參賽結(jié)果表明獲獎(jiǎng)的選手多為已參加過數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生及備戰(zhàn)考研的學(xué)生，因此根據(jù)學(xué)生的情況實(shí)行分層培訓(xùn)可使培訓(xùn)更高效、更合理。對(duì)初次參加競賽的大二學(xué)可從教材中的難題為起點(diǎn)，逐步加大題目難度對(duì)其進(jìn)行培訓(xùn)；對(duì)已參加過1～2次競賽的學(xué)生可適當(dāng)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，針對(duì)各知識(shí)點(diǎn)講授新的題目；對(duì)備戰(zhàn)考研的學(xué)生可不講解基礎(chǔ)知識(shí)，重點(diǎn)講解考研題目，在此基礎(chǔ)之上加入競賽題目。
如何吸引更多優(yōu)秀的大學(xué)生參與到競賽中來并形成持續(xù)的競賽梯隊(duì)是競賽的主辦方和參賽學(xué)校都關(guān)注的問題?？赏ㄟ^下述途徑解決該問題：（1）做好數(shù)學(xué)競賽的宣傳工作：通過賽前動(dòng)員、賽后總結(jié)表彰及獲獎(jiǎng)選手報(bào)告參賽經(jīng)驗(yàn)等一系列活動(dòng)擴(kuò)大數(shù)學(xué)競賽的影響，讓學(xué)生充分了解競賽的宗旨、形式與作用。（2）將競賽培訓(xùn)設(shè)置為選修課程，獲獎(jiǎng)選手除獲獎(jiǎng)勵(lì)之外還可獲得相應(yīng)的興趣學(xué)分。（3）將輔助考研學(xué)生作為競賽培訓(xùn)的機(jī)能之一，通過針對(duì)性強(qiáng)的培訓(xùn)提高考研學(xué)生的考研成績，為數(shù)學(xué)競賽與競賽培訓(xùn)建立良好形象。
3 培訓(xùn)資料的收集與整理
以往幾屆的競賽試題無固定的規(guī)律和模式，題目靈活機(jī)動(dòng)，綜合性強(qiáng)，難度較大。提高學(xué)生競賽成績的有效方法之一就是讓學(xué)生接觸各種類型、各個(gè)層次的題目，掌握一定的做題技巧，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力，所以培訓(xùn)資料的收集與整理尤為重要。全國各地區(qū)或高校的數(shù)學(xué)競賽試題、考研試題以及往屆數(shù)學(xué)競賽的試題均可作為培訓(xùn)材料?？筛鶕?jù)題型、難度對(duì)這些試題進(jìn)行分類、排序，使學(xué)生盡可能多地接觸各類題型，循序漸進(jìn)地掌握好各類題型的解決方法。另外，也可從《數(shù)學(xué)分析》、《常微分方程》、《空間解析幾何》等數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)書中選取與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系較密切的知識(shí)點(diǎn)，作為培訓(xùn)資料的一部分在培訓(xùn)時(shí)補(bǔ)充講解，以拓寬學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生的解題能力。
4 競賽培訓(xùn)與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的緊密結(jié)合
對(duì)于本科層次第二批次招生的理工科學(xué)校而言，高等數(shù)學(xué)與其大多數(shù)專業(yè)的后續(xù)課程聯(lián)系緊密[3]，因此這些學(xué)校均十分重視高等數(shù)學(xué)的教學(xué)。但是近年來，高校招生人數(shù)不斷擴(kuò)大，大學(xué)生總體入學(xué)水準(zhǔn)和綜合素質(zhì)都不甚理想。因此授課教師在教授高等數(shù)學(xué)時(shí)更側(cè)重于講解基本的計(jì)算，而忽略了學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)修養(yǎng)的培養(yǎng)，這限制了綜合素質(zhì)較強(qiáng)的學(xué)生的發(fā)展。競賽培訓(xùn)與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的緊密結(jié)合，可彌補(bǔ)日常教學(xué)中的不足，挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)潛能，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才。
競賽的指導(dǎo)老師應(yīng)承擔(dān)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)工作，并要對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況和各章節(jié)應(yīng)補(bǔ)充加強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)有較深入的了解。可在日常教學(xué)中選出需補(bǔ)充加深的知識(shí)點(diǎn)并尋找相應(yīng)的練習(xí)題，經(jīng)指導(dǎo)組成員討論、篩選后確定具體內(nèi)容，在入門培訓(xùn)階段補(bǔ)充講解。實(shí)踐表明好學(xué)的學(xué)生對(duì)補(bǔ)充的知識(shí)點(diǎn)非常感興趣，會(huì)在課后積極提問，也會(huì)主動(dòng)完成相應(yīng)的練習(xí)題。競賽培訓(xùn)與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的緊密結(jié)合鞏固了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，激勵(lì)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，充分地體現(xiàn)和詮釋了數(shù)學(xué)競賽的宗旨。
1.1 賽事目標(biāo)
全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，又稱為中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（后面簡稱競賽），是中國數(shù)學(xué)會(huì)面向本科生舉辦的一項(xiàng)全國性高水平學(xué)科競賽，旨在發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，促進(jìn)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，增加大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)分析、解決問題的能力，為青年學(xué)子提供一個(gè)展示基礎(chǔ)知識(shí)和思維能力的舞臺(tái)。
1.2 競賽內(nèi)容
賽事包括預(yù)賽和決賽兩部分，按專業(yè)性質(zhì)又分為數(shù)學(xué)專業(yè)和非數(shù)學(xué)專業(yè)兩類。參賽對(duì)象均為大學(xué)本科二年級(jí)及以上的在校大學(xué)生。其中數(shù)學(xué)專業(yè)類考查數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何三門課程，而非數(shù)學(xué)專業(yè)類是面向工科類專業(yè)學(xué)生設(shè)置的，預(yù)賽考查的主要內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)，決賽從第五屆開始增加了線性代數(shù)部分。
1.3 賽事現(xiàn)狀
自2009年開始，每年一屆，一般安排在10月份的最后一??周六舉行。競賽由中國數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)舉辦，不同高校承辦。截止2016年，該賽事已成功舉辦了8屆，來自全國幾百所本科院校的數(shù)十萬學(xué)生參加了該項(xiàng)競賽，成為影響力最大、參賽人數(shù)最多的高校學(xué)科競賽之一。
1.4 賽事作用
競賽試題一般都具有綜合性、技巧性、探究性、開放性等特點(diǎn)，通常需要采用非常規(guī)的解題方法，答案可能也并不唯一。因此，競賽更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí)，嘗試進(jìn)行多角度、全方位的思考，推動(dòng)思維創(chuàng)新。學(xué)生在參賽的過程中，會(huì)系統(tǒng)的梳理所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與解題技巧，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理的本質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí)，邏輯思維、抽象思維、發(fā)散思維和創(chuàng)新思維都會(huì)有一定地提高，有利于學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。
2 賽事組織
2.1 尋求政策支持
學(xué)校政策支持是競賽培訓(xùn)工作長期開展的重要保障。我校非常重視包括學(xué)科競賽在內(nèi)的第二課堂建設(shè)，將第二課堂活動(dòng)納入人才培養(yǎng)方案，制定第二課堂活動(dòng)學(xué)分管理辦法及指導(dǎo)教師獎(jiǎng)勵(lì)辦法等措施。在學(xué)校第二課堂專項(xiàng)活動(dòng)經(jīng)費(fèi)的支持下，各系積極組織師資力量，培訓(xùn)學(xué)生參加各類學(xué)科專業(yè)競賽。包括大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽、數(shù)學(xué)建模競賽在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)科競賽培訓(xùn)工作也得到了全面開展。
2.2 建設(shè)輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)
輔導(dǎo)教師團(tuán)隊(duì)是競賽培訓(xùn)工作順利實(shí)施的前提條件。大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)不僅需要輔導(dǎo)教師具有高等數(shù)學(xué)相關(guān)課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，還需要投入大量的精力，查閱課外參考書、各省市及其他國家的數(shù)學(xué)競賽試題等，進(jìn)行試題分析和教法研究。此外，由于競賽培訓(xùn)必須在學(xué)生的課余時(shí)間進(jìn)行，一般都安排在晚上、周末或者假期，需要輔導(dǎo)教師犧牲大量休息時(shí)間，具有奉獻(xiàn)精神。我校數(shù)理系于2010年成立了數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)，目前共有6位輔導(dǎo)教師。
2.3 建設(shè)交流平臺(tái)
由于非數(shù)學(xué)專業(yè)類的參賽學(xué)生都是來自不同的專業(yè)、不同的年級(jí)，因此在宣傳動(dòng)員、聯(lián)系溝通、組織管理的難度上比數(shù)學(xué)專業(yè)類的學(xué)生要困難很多。為此，我們在系部網(wǎng)站首頁、我校大學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新平臺(tái)首頁都設(shè)置了競賽天地版塊，對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)競賽的參賽獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行宣傳報(bào)道。此外，我們還專門建立了合肥學(xué)院數(shù)學(xué)競賽交流群，供有興趣或參賽意向的同學(xué)在線討論交流，教師負(fù)責(zé)引導(dǎo)答疑。截止目前，該群已有成員近400人，日常交流活躍。
2.4 選拔參賽學(xué)生
為了在各專業(yè)中選拔優(yōu)秀學(xué)生參賽，我校每年6月份，在大一新生高等數(shù)學(xué)課程結(jié)束后舉行一次校級(jí)數(shù)學(xué)競賽暨全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽選拔賽。除了海報(bào)等常規(guī)宣傳外，我們積極動(dòng)員所有高等數(shù)學(xué)課程的授課教師，在授課班級(jí)內(nèi)進(jìn)行校賽的宣傳與動(dòng)員工作，鼓勵(lì)學(xué)有余力的同學(xué)參賽。實(shí)踐證明，舉辦校賽能夠很好的激勵(lì)大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情。除校賽選拔外，我們還歡迎高等數(shù)學(xué)授課教師以個(gè)人推薦的方式推薦優(yōu)秀的學(xué)生參加競賽培訓(xùn)。
3 培訓(xùn)實(shí)踐
3.1 時(shí)間安排
由于我校大二年級(jí)的學(xué)生暑期要全部離校開展認(rèn)知實(shí)習(xí)活動(dòng)，所以暑期沒有安排競賽培訓(xùn)活動(dòng)。校賽獲獎(jiǎng)名單確定后，我們會(huì)向獲獎(jiǎng)學(xué)生推薦部分競賽輔導(dǎo)書及歷年全國競賽真題，要求其暑期自主學(xué)習(xí)。9月初，根據(jù)學(xué)習(xí)情況正式確定參賽名單并開始競賽培訓(xùn)。培訓(xùn)時(shí)間一般是8周，每周3-4次課，一般安排在晚上和周末。據(jù)了解，很多學(xué)校數(shù)學(xué)競賽實(shí)行暑期集中培訓(xùn)，可能更有利于提高競賽成績，但這涉及到暑期學(xué)生的住宿及安全管理問題，需要學(xué)校的政策支持。
3.2 培訓(xùn)方式
集中上課培訓(xùn)是常見的競賽輔導(dǎo)方式。由于參賽學(xué)生來自不同的年級(jí)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差別較大，集中授課容易導(dǎo)致部分基礎(chǔ)較弱的學(xué)生很難消化、被動(dòng)接受，得不到有效的思維訓(xùn)練，學(xué)習(xí)積極性受阻；而一些基礎(chǔ)較好的學(xué)生又覺得“吃不飽”，學(xué)習(xí)效率難以提高。為此，我校采取如下方式分層培訓(xùn)：
3.3 培訓(xùn)內(nèi)容
對(duì)于初次參賽的大二學(xué)生，培訓(xùn)內(nèi)容的難度應(yīng)該由淺入深，分階段逐步推進(jìn)。我校集中培訓(xùn)環(huán)節(jié)安排如下：首先，對(duì)高等數(shù)學(xué)上下冊的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固、融會(huì)貫通，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系有更深刻的認(rèn)識(shí)；其次，講解近十年考研數(shù)學(xué)一中的部分較難試題，既強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也為有意向考研的同學(xué)提前復(fù)習(xí)準(zhǔn)備；再次，詳細(xì)講解全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽與決賽的部分真題，歸納總結(jié)歷屆考點(diǎn)的范圍及難易程度；最后，精選各省市的一些其他競賽真題或模擬題，讓學(xué)生了解知識(shí)點(diǎn)的不同命題方式。
對(duì)于有參賽經(jīng)歷或正在準(zhǔn)備考研的高年級(jí)學(xué)生，集中上課培訓(xùn)對(duì)競賽成績提升的效果并不明顯。不僅如此，集中上課需要占用學(xué)生較多的課余時(shí)間，一些準(zhǔn)備考研的優(yōu)秀學(xué)生可能會(huì)放棄參賽。由于已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)于這部分學(xué)生，建議成立討論小組，利用在線交流平臺(tái)開展討論、交流，讓同學(xué)們自主分析試題、試卷特點(diǎn)，圍繞考點(diǎn)和一些典型試題，探索一題多解和變形推廣，教師給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生理論創(chuàng)新。
要想取得理想的競賽成績，培訓(xùn)課后適當(dāng)?shù)脑囶}訓(xùn)練是必不可少的。除了推薦復(fù)習(xí)參考書，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)外，我們還挑選部分試題，組成若干套競賽輔導(dǎo)試卷，供學(xué)生分階段練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成效。賽前，我們還鼓勵(lì)學(xué)生將自己復(fù)習(xí)過程中遇到的比較新穎的試題上傳分享，引導(dǎo)大家在線交流發(fā)表自己的思路，既加深了學(xué)生對(duì)試題的理解，又培養(yǎng)了分析解決問題的能力。
3.4 培訓(xùn)成果
通過競賽培訓(xùn)，我校在非數(shù)學(xué)專業(yè)類競賽中取得了比較明顯的進(jìn)步，成績逐年提高，近5年競賽獲獎(jiǎng)人數(shù)如圖2所示。
2016年，我校共39人參賽，20人獲獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)比例超過50%。截止目前，我校非數(shù)學(xué)專業(yè)類共有77人次獲獎(jiǎng)，其中一等獎(jiǎng)18人，二等獎(jiǎng)25人，三等獎(jiǎng)34人，遍及化工、電子、機(jī)械、計(jì)算機(jī)等工科專業(yè)，獲獎(jiǎng)比例在省屬高校中名列前茅。
4 存在問題
4.1 學(xué)生參與的積極性
受學(xué)業(yè)任務(wù)重、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱、學(xué)習(xí)興趣不足等多方面因素的影響，我校工科類專業(yè)學(xué)生起初參加校級(jí)數(shù)學(xué)競賽的積極性并不高。我們嘗試從多方面對(duì)學(xué)生的參賽積極性進(jìn)行激勵(lì)，包括通過高等數(shù)學(xué)授課老師動(dòng)員和鼓勵(lì)，提高獲獎(jiǎng)人數(shù)的比例，增設(shè)《高等數(shù)學(xué)選講》選修課，認(rèn)定第二課堂學(xué)分，提供考研內(nèi)容輔導(dǎo)等方式。經(jīng)過幾年的努力，學(xué)生的參賽積極性有了較大的改善，參賽人數(shù)及優(yōu)質(zhì)生源增多，這也是參賽成績逐年提高的一個(gè)重要影響因素。
4.2 學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力
眾所周知，最優(yōu)秀的學(xué)生往往并不是老師‘教’出來的。要想在競賽中取得優(yōu)異的成績，學(xué)生還必須具備一定的自主學(xué)習(xí)和探究的能力。在當(dāng)前高校擴(kuò)招的大形勢下，普通本科院校招到已具備良好自主學(xué)習(xí)能力的優(yōu)秀生源的比例很低，需要在日常教學(xué)過程中不斷的引導(dǎo)和強(qiáng)化。近年來，我校大力推行模塊化教學(xué)改革，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用和自主學(xué)習(xí)能力，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)明顯提升，自主學(xué)習(xí)能力逐步加強(qiáng)。
5 結(jié)語
關(guān)鍵詞：大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽 競賽共同體 培訓(xùn)模式
1.背景與問題描述
大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽最早出現(xiàn)在美國和前蘇聯(lián)，1981年我國各省市開始陸續(xù)組織大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，有的中途中斷，有的一直持續(xù)到現(xiàn)在。影響較大的有北京市、天津市、陜西省大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，還有一些學(xué)校也舉行數(shù)學(xué)競賽，如南開大學(xué)、同濟(jì)大學(xué)等。2009年中國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)普及委員會(huì)在全國范圍內(nèi)開始舉辦中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，設(shè)立數(shù)學(xué)類和非數(shù)學(xué)類兩組，分預(yù)賽和決賽兩次進(jìn)行。自從2009年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽舉辦以來，關(guān)于競賽效用、競賽與教學(xué)及競賽培訓(xùn)等方面的研究逐步展開。有些研究提出大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)是創(chuàng)新人才培養(yǎng)的重要載體之一，對(duì)培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、優(yōu)化人才培養(yǎng)過程、提高教學(xué)質(zhì)量、促進(jìn)高校教育教學(xué)改革具有獨(dú)特的和不可替代的作用[1]；有些研究指出大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競賽可以推動(dòng)高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革，促進(jìn)教師業(yè)務(wù)水平提高[2]；有研究著眼于加強(qiáng)競賽數(shù)學(xué)課程建設(shè)，提出以大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽為契機(jī)，不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性[3]；很多高校教師結(jié)合自身的競賽培訓(xùn)工作探索與實(shí)踐積累，針對(duì)普通高校大學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，設(shè)計(jì)了行之有效的培訓(xùn)組織模式，提出了相應(yīng)的競賽培訓(xùn)模式[4]。
上述研究對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽發(fā)展和數(shù)學(xué)教學(xué)改革無疑有巨大的推動(dòng)作用。本研究將在上述研究的基礎(chǔ)上，從特訓(xùn)主體、客體及內(nèi)容等方面討論以下問題：（1）如何建設(shè)一支致力于大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的教練團(tuán)隊(duì)；（2）競賽共同體創(chuàng)建模式；（3）特訓(xùn)共同體學(xué)習(xí)模式研究；（4）特訓(xùn)內(nèi)容與時(shí)間優(yōu)化設(shè)計(jì)。
2.競賽共同體的創(chuàng)建與活動(dòng)
學(xué)習(xí)一向是心理學(xué)研究的主要課題，不同學(xué)派對(duì)學(xué)習(xí)定義各不相同，實(shí)際上是從不同側(cè)面揭示學(xué)習(xí)本質(zhì)。有人曾對(duì)學(xué)習(xí)提出這樣的定義：學(xué)習(xí)是由經(jīng)驗(yàn)引起的行為、能力和心理傾向比較持久的變化。這種經(jīng)驗(yàn)不僅包括外部環(huán)境刺激和個(gè)體練習(xí)，更重要的包括個(gè)體與環(huán)境之間復(fù)雜的交互作用。由此可見，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)環(huán)境不斷相互作用的過程，這種相互作用包括三方面：（1）學(xué)習(xí)者和助學(xué)者之間；（2）學(xué)習(xí)者相互之間；（3）主體（學(xué)習(xí)者、助學(xué)者）與客體（學(xué)習(xí)內(nèi)容）之間。由此不難看出學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)習(xí)共同體性質(zhì)的活動(dòng)。在學(xué)校里創(chuàng)建各種學(xué)習(xí)共同體，不僅能提高學(xué)生在學(xué)科或?qū)I(yè)方面的素養(yǎng)，更重要的是有利于推進(jìn)高校學(xué)風(fēng)建設(shè)。
2.1教練團(tuán)隊(duì)的創(chuàng)建
競賽培訓(xùn)不同于一般教學(xué)，前者要求輔導(dǎo)教師對(duì)基本概念和基本定理及其聯(lián)系有很透徹的領(lǐng)悟，要有敏銳的觀察能力，要善于啟發(fā)的學(xué)生思維，把握高等數(shù)學(xué)發(fā)展新動(dòng)態(tài)。在組建教學(xué)團(tuán)隊(duì)之初，所有教師都沒有輔導(dǎo)競賽數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，教練團(tuán)隊(duì)并不能一蹴而就。首先，自愿前提下，挑選一批長期從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，有一定教學(xué)成果和敬業(yè)精神者優(yōu)先。人數(shù)最好能固定，有退出再補(bǔ)充。經(jīng)過三五年的發(fā)展，這個(gè)團(tuán)隊(duì)成員將基本穩(wěn)定。
任何團(tuán)隊(duì)要獲得成績必須有一定的規(guī)章制度作為保證，如成員的權(quán)利與義務(wù)等，各學(xué)校有自己的做法，在此不做詳細(xì)說明。主要介紹一下教練團(tuán)隊(duì)的活動(dòng)，這些活動(dòng)保證了競賽教學(xué)質(zhì)量。
2.1.1征訂高等數(shù)學(xué)研究方面的期刊并讓教師借閱；
2.1.2指定教材備課并編寫教案、講義或試卷；
2.1.3指定主題做教學(xué)報(bào)告并撰寫教學(xué)論文；
2.1.4討論課堂上傳授賽點(diǎn)的時(shí)機(jī)、方式方法與度的把握等具體事宜；
2.1.5加強(qiáng)競賽數(shù)學(xué)課程建設(shè)。
2.2引導(dǎo)學(xué)生加入共同體
創(chuàng)建大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽學(xué)習(xí)共同體，就是通過各種媒介創(chuàng)建一個(gè)由學(xué)習(xí)者、輔導(dǎo)教師共同構(gòu)成的團(tuán)體，彼此之間經(jīng)常在學(xué)習(xí)過程中溝通、交流，分享各種學(xué)習(xí)資源，共同完成一定的學(xué)習(xí)任務(wù)，因而成員之間形成相互影響、相互促進(jìn)的人際聯(lián)系。實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，在引導(dǎo)學(xué)生加入共同體的過程中要重點(diǎn)把握六個(gè)原則：
2.2.1交流的互動(dòng)性。學(xué)生與學(xué)生之間、教師與學(xué)生之間建立彼此信賴、和睦相處的融洽關(guān)系，每個(gè)人的感受是不僅從共同體中獲益，而且為共同體作出貢獻(xiàn)。
2.2.2參與的積極性。從“合法的邊緣性參與者”逐步成為“共同體的核心成員”。這種成員間角色變化促進(jìn)了身份重構(gòu)，使其不再感覺自己只是被動(dòng)的接受者，而是以主人翁的姿態(tài)參與學(xué)習(xí)。
2.2.3目標(biāo)的一致性。擁有共同目標(biāo)是共同體創(chuàng)建的基礎(chǔ)，大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽共同體的共同目標(biāo)就是提高數(shù)學(xué)分析與解題能力，在競賽中取得好成績。
2.2.4學(xué)習(xí)的開放性。這里每個(gè)成員都是知識(shí)的探索者、開發(fā)者，都要積極提出自己的觀點(diǎn)，無論是對(duì)還是錯(cuò)，共同參與知識(shí)建構(gòu)，加深對(duì)知識(shí)深層次理解。
2.2.5過程的漸進(jìn)性。學(xué)習(xí)共同體的形成一定是一個(gè)漸進(jìn)的過程，一般有三個(gè)時(shí)期――初級(jí)階段、磨合階段、成熟階段，這個(gè)過程中成員從不了解到彼此認(rèn)同，再到相互協(xié)作。
2.2.6訓(xùn)練的持久性。一個(gè)較高目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)必須把初期參與積極性轉(zhuǎn)變成訓(xùn)練過程的持久性。國外已有研究表明，數(shù)學(xué)競賽中那些最終成功的學(xué)生在很大概率上是訓(xùn)練最持久的學(xué)生。
經(jīng)過幾年理論和實(shí)踐探索，共同體的創(chuàng)建過程及活動(dòng)基本固定，大致進(jìn)程包括：通過講座或者課堂進(jìn)行宣傳全校范圍內(nèi)開設(shè)《競賽數(shù)學(xué)》選修課舉辦校級(jí)數(shù)學(xué)競賽（選拔賽）短期集訓(xùn)指導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)建小組各小組展開研究型學(xué)習(xí)各小組報(bào)告及成果共享。
