時間：2022-06-16 06:44:49
序論：在您撰寫數(shù)學(xué)理論論文時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
關(guān)鍵詞：1、數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2，2、哲理整性質(zhì)，3、哲理整小數(shù)4、廣義整數(shù)，5、有限不循環(huán)小數(shù)，6、有限循環(huán)小數(shù)，7、最大分數(shù)單位1/2，8、小數(shù)單位，9、最大小數(shù)單位——0.5等等
1、數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2（1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么？）：
純粹數(shù)學(xué)理論上存在著缺陷與不足，那就是偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，換言之，純粹數(shù)學(xué)在理論上根本無法承認和接受2是數(shù)學(xué)公理，因為奇數(shù)不能被2整除自身就是科學(xué)根據(jù)與鐵的事實，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，如此理論太絕對了，已經(jīng)給純粹數(shù)學(xué)的理論造成了不可思議，奇數(shù)不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思、探討、探索——不能還停留在偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除玄學(xué)的理論水平上，要深化理論認識，…。
為什么1+1=2，本文回答既簡單又深奧：偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對立統(tǒng)一，1+1=2是數(shù)學(xué)首要公理，1+1=2蘊涵著深刻的對立統(tǒng)一規(guī)律，是啊！它真的既簡單又深奧，它簡單的表面上看似是小學(xué)生的基本知識，然而其道理深奧地不可思議、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解與接受，更不是小學(xué)生能夠理解的數(shù)學(xué)知識，...!
偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)不僅存在著對立性，而且還存在著共性和同一性，即異中之同，差異中的共性，…，
其一：奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除就是指奇數(shù)與偶數(shù)的異中之同，差異中的共性與同一性，
其二：偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除就是指奇數(shù)與偶數(shù)的差異性、排斥性、對立性，
因此說，奇數(shù)與偶數(shù)既有對立性又有同一性，奇數(shù)與偶數(shù)二者存在著相反相成、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，它揭示著2是數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的首要公理，這是世界觀的認識問題，有什么樣的世界觀就有什么樣的認識論、方法論，如果玄學(xué)，無論如何都是無法理解、接受它，如此真理說不清、理還亂、但是它的廬山真面目就是如此，無法更改，古人云“不識廬山真面目、只緣身在此山中”，需要“跳出廬山看廬山”，要擺脫兩千多年玄學(xué)的嚴重束縛，…。
為什么1+1=2不是指數(shù)論的“1+1”，為什么1+1=2？不僅要知其然還要知其所以然，…，絕對值1+1=2與數(shù)論的“1+1”既有差異又有聯(lián)系，如果把素數(shù)2看作偶素數(shù)，那么數(shù)論的“1+1”是指大于等于6的偶數(shù)可表示為兩個素數(shù)之和——歌德巴赫猜想，無需奇素數(shù)，本文素數(shù)就是指奇素數(shù)3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，數(shù)論的“1+1”它是絕對值的特殊公理，數(shù)論的“1+1”與絕對值的1+1=2在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中一脈相承，在絕對值1+1=2數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中蘊涵著數(shù)論的“1+1”，數(shù)論的“1+1”是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)偶環(huán)節(jié)上的特殊公理，換言之、數(shù)論的“1+1”也是數(shù)學(xué)公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=3+15，……，無窮無盡）擁有客觀存在性，并非被摘取下來才擁有真實性、摘取不下來就非真實性和非客觀存在性，既不肯定也不否定模棱兩可、這背離了數(shù)學(xué)（邏輯）排中律，…。
雖然哥德巴赫猜想數(shù)學(xué)命題沒有被數(shù)學(xué)專家畢了、依然被人們研究著，但傳統(tǒng)的素數(shù)“篩法”，此路不通已失去了昔日輝煌，…。
2、自然數(shù)與正整數(shù)、單位“1”與自然“1”：
1+1=2是科學(xué)抽象的、1+1=2以及正整數(shù)是相對于廣義的單位“1”而言，單位“1”的含量絕對統(tǒng)一，1+1=2并非自然“1”的意義，事實上自然數(shù)與正整數(shù)既有差異又有聯(lián)系，自然數(shù)是相對于自然“1”而言，正整數(shù)是相對于單位“1”而言，正整數(shù)是把自然數(shù)提升到了抽象的科學(xué)高度，由于自然數(shù)、時常因單位“1”不統(tǒng)一、“含金量”不一致，如果對自然數(shù)直接進行運算是有很大的局限性——有時正確、有時有偏差，我們?nèi)祟愂锹斆髦腔鄣?，有了?shù)學(xué)的廣義的單位“1”、正整數(shù)，消除了自然數(shù)的局限性，…。
3、哲理整小數(shù)以及哲理整小數(shù)的雙重性質(zhì)（或哲理整分數(shù)和哲理整分數(shù)的雙重性質(zhì)）：
小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......，的絕對值擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，哲理整性質(zhì)是指小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......（注：它們的小數(shù)部分均為0.5，只涉及到0.5也可以、也足以）的絕對值比其他普通小數(shù)的絕對值整裝、…、本文將它們的這一特性簡稱為哲理整性質(zhì)（相對整），因為1/2是最大分數(shù)單位，則0.5是最大小數(shù)單位，因此0.5擁有哲理整性質(zhì)，它地地道道、的的確確客觀存在著，我們的認識迄今為止還未意識到，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，唯恐越看越不明白，令人意亂、勞神，...。
哲理整小數(shù)：本文將小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…和它們的哲理整性質(zhì)（相對整）統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)，務(wù)必明確的說明，哲理整小數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。
哲理整分數(shù)：本文將分數(shù)1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2……和它們的哲理整性質(zhì)統(tǒng)稱為哲理整分數(shù)，哲理整分數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。
普通小數(shù)：不包含哲理整小數(shù)在內(nèi)的小數(shù)簡稱為普通小數(shù)。
普通分數(shù)：不包含哲理整分數(shù)在內(nèi)的分數(shù)簡稱為普通小數(shù)。
4、1/2和0.5哲理整性質(zhì)的科學(xué)依據(jù):
分數(shù)擁有分數(shù)單位，數(shù)學(xué)教科書應(yīng)該明確指出1/2是最大分數(shù)單位，1/1不是最大分數(shù)單位、是整數(shù)分數(shù)，1/1=1依然體現(xiàn)整數(shù)性質(zhì)、是一個特例，然而迄今為止還沒有小數(shù)單位，數(shù)學(xué)需要向前發(fā)展提出小數(shù)單位、最大消暑單位，要明確指出最大小數(shù)單位是“0.5”，而且為奇數(shù)能被2哲理整除提供客觀科學(xué)依據(jù)，才更符合數(shù)學(xué)的客觀實際！單憑直覺，最大分數(shù)單位1/2和最大小數(shù)單位0.5還未體現(xiàn)出其真正數(shù)學(xué)意義，最大分數(shù)單位和最大小數(shù)單位在本質(zhì)上體現(xiàn)哲理整性質(zhì)才是其真正的數(shù)學(xué)意義，這是如何對待數(shù)學(xué)真理的重大認識問題，并非可有可無，可無必然是一個數(shù)學(xué)錯誤，1/2和0.5的哲理整性質(zhì)是微小微妙、微乎其微的變化、微不足道的差異性，若不仔細認真觀察很難被人們發(fā)現(xiàn)，形而上學(xué)排斥它、大多數(shù)人無法理解接受它，有理難辯啊，難！真的很難！不僅如此還會遭人諷刺、挖苦等等，…。
關(guān)于分數(shù)和小數(shù)：分數(shù)單位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…對應(yīng)下的小數(shù)應(yīng)為小數(shù)單位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，….。
哲理整性質(zhì)的來龍去脈：在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中，派生子集合，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…從系統(tǒng)發(fā)展變化中分化出來，占據(jù)整數(shù)的位置充分地十足地體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)或者說體現(xiàn)其相對整性質(zhì)，數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)為其提供科學(xué)依據(jù)；最大分數(shù)單位1/2、最大小數(shù)單位0.5也為其提供科學(xué)依據(jù)，只有在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中才能夠發(fā)現(xiàn)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）擁有哲理整性質(zhì)，單憑直覺無從談起，單憑直覺只能看到最大分數(shù)單位和最大小數(shù)單位，…。
能被2整除的是偶數(shù)，…，整數(shù)0，1，-1，2，-2.，3，-3，4，-4，5，-5，……，…為偶數(shù)能被2整除提供科學(xué)依據(jù)舉世公認，…。
為了便于理解接受也可以首先把0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…暫時將它們看作哲理整數(shù)（相對整數(shù)），哲理整數(shù)為奇數(shù)能被2哲理整除提供客觀科學(xué)依據(jù)，哲理整數(shù)指小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…的絕對值比其他普通小數(shù)的絕對值整裝——因為0.5是最大小數(shù)單位，與整數(shù)形成異中之同，差異中有共性，數(shù)學(xué)與哲學(xué)將這一特性簡稱為哲理整性質(zhì)（相對整）——哲理整數(shù)（相對整），但是理解接受以后：絕對不能忘記了哲理整數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，一是擁有普通小數(shù)性質(zhì)、二是擁有哲理整性質(zhì)，只承認它們的小數(shù)性質(zhì)認識是片面的，只承認0.它們的哲理整性質(zhì)認識是片面的，…。
事實上只有把哲理整數(shù)統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)體現(xiàn)雙重性質(zhì)才更確切、完整、正確，…。
5、有理數(shù)系數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)（就不展開敘述了）：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此結(jié)構(gòu)式上下交錯對應(yīng)不能散開）
[0.1～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1環(huán)節(jié)：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2環(huán)節(jié)：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3環(huán)節(jié)：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4環(huán)節(jié)：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5環(huán)節(jié)：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6環(huán)節(jié)：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
……，…，
∑{[0～1]}意指0與1之間的基數(shù)之和，它是集合族、有無窮個子集合或有無窮個數(shù)組，其他依次類推，符號：意指派生子集合，很顯然，在系統(tǒng)數(shù)值邏輯運算過程中，小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……從系統(tǒng)發(fā)展變化過程中產(chǎn)生分化出來，占據(jù)整數(shù)位置，充分體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)，即派生子集合，為奇數(shù)能被2哲理整除提供科學(xué)依據(jù)，蘊涵著完整的數(shù)值運算規(guī)律，數(shù)論、集論、算術(shù)三位一體、辯證統(tǒng)一，蘊涵著完整數(shù)學(xué)公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…。
潛無限給數(shù)值邏輯奠定基礎(chǔ)并給作科學(xué)指導(dǎo)，潛無限排斥實無限，…。
實無限只能給數(shù)理邏輯奠定基礎(chǔ)，如何給數(shù)值邏輯作科學(xué)指導(dǎo)？實無限排斥潛無限，事實上互相排斥，…。
6、廣義整數(shù)：
廣義整數(shù)：將整數(shù)和哲理整小數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)（將整數(shù)和哲理整分數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)），…。
7、有限不循環(huán)小數(shù)：
有限不循環(huán)小數(shù)：為了便于理解，簡言之，我們把無限不循環(huán)小數(shù)有限數(shù)字（小數(shù)點右邊至少有兩位或兩位以上不循環(huán)數(shù)字）稱之為有限不循環(huán)小數(shù)，例如：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……，有無限不循環(huán)小數(shù)必然存在著有限不循環(huán)小數(shù)，在數(shù)值邏輯中，有限不循環(huán)小數(shù)與潛無限不循環(huán)小數(shù)擁有替代無理數(shù)數(shù)值的巨大意義與作用；有限小數(shù)中的小數(shù)再如此細致地劃分出有限不循環(huán)小數(shù)、有限不循環(huán)小數(shù)，才更切合實際，在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中會發(fā)現(xiàn)：有限不循環(huán)小數(shù)擁有客觀存在性，擁有無限不循環(huán)小數(shù)就必然存在著有限不循環(huán)小數(shù)，這的確是一個認識問題，有限不循環(huán)小數(shù)可表達為分數(shù)形式，因此有限不循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，同時還是超越無理數(shù)的有限形式，因此可替代無理數(shù)數(shù)值（無理數(shù)的近似值），只談無限不循環(huán)小數(shù)（只談無理數(shù)），不涉及到有限不循環(huán)小數(shù)是不行的，…。
尤其是有限不循環(huán)小數(shù)，在實質(zhì)上擁有替代無理數(shù)數(shù)值的巨大意義與作用——此乃有限不循環(huán)小數(shù)的重要數(shù)學(xué)意義。
8、有限循環(huán)小數(shù):
有限循環(huán)小數(shù):為了便于理解，簡言之，我們把無限循環(huán)小數(shù)有限個循環(huán)節(jié)（小數(shù)點右邊至少有兩個或兩個以上數(shù)字循環(huán)節(jié)）稱之為有限循環(huán)小數(shù)，如：0.1616，0.161616，0.666，0.666666，0.78787878，0.999999，……，有無限循環(huán)小數(shù)必然存在著有限循環(huán)小數(shù)，有限循環(huán)小數(shù)客擁有客觀存在性，它可替代無限循環(huán)小的數(shù)值，…，這也是一個認識問題，有限循環(huán)小數(shù)可表達為分數(shù)形式，因此有限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，…。
9、普通有限小數(shù)：
把小數(shù)點后邊有一位數(shù)或兩位數(shù)以內(nèi)的小數(shù)簡稱為普通有限小數(shù)，例如：0.9，1.1，1.2，3.6，3.8，5.8，6.8，7.16，………，…。
10、總之、數(shù)學(xué)理論要有所突破、要有所進展：
數(shù)學(xué)（算術(shù)）需要向前發(fā)展有所突破：
（1）提出數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2，
（2）明確指出1/2是最大分數(shù)單位，
（3）提出小數(shù)單位、最大小數(shù)單位、0.5是最大小數(shù)單位，
（4）將有限小數(shù)細致劃分為：
a、哲理整小數(shù)：0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，
b、普通有限小數(shù)，
c、有限不循環(huán)小數(shù)，
d、有限循環(huán)小數(shù)，
（5）有理數(shù)系數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)，
（6）廣義整數(shù)，
（7）哲理整分數(shù)：1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，……，
（8）整數(shù)分數(shù)：把1/1，-1/1，2/1，-2/1，3/1，-3/1，4/1，-4/1，5/1，-5/1，6/1，-6/1，……統(tǒng)稱為整數(shù)分數(shù)，擁有雙重身份，…。
（9）雙素數(shù)：例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示為兩個等值素數(shù)之和，雙素數(shù)星星點點揭示著哥德巴赫猜想擁有客觀存在性，無法否定它，
（10）偶素數(shù)——2：2既是一個偶數(shù)又一個素數(shù)，把2簡稱為偶素數(shù)，
等等才更接近數(shù)學(xué)的實際情況，希望數(shù)學(xué)教師率先轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)思維理念給以鼎力支持，…。
總之，依然還是把整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，只不過是又將分數(shù)劃分為哲理整分數(shù)、普通分數(shù)、還有整數(shù)分數(shù)，...，為什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理，一定要弄明白其中的原理、道理、哲理！…，再次說明，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，這是很正常的，且末當(dāng)真、切莫較真，同時也說明一點本文為什么1+1=2的含義不同于1+1為什么等于2？，也未直接涉及到數(shù)論的“1+1”，…。
錯字、多字、漏字、錯誤在所難免，本文作為數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)最新觀點，僅供參考、并不強加于人。
參考文獻：
1、《辯證唯物主義和歷史唯物主義原理》，中國人民大學(xué)出版社出版
2、《古今數(shù)學(xué)思想》（北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯）上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版，1981年7月。原作者：（美國數(shù)學(xué)家）M.克萊因著
3、《普通邏輯原理》，主編：吳家國，高等教育出版社出版，1992年9月
探討數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2（原創(chuàng)）
作者：任感恩
摘要：探討數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2，弄清楚1+1=2的原理、道理、哲理，不僅要知其然，而且還要知其所以然，簡述該深刻內(nèi)涵揭示的深入細致的數(shù)學(xué)真理，…。
關(guān)鍵詞：1、數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2，2、哲理整性質(zhì)，3、哲理整小數(shù)4、廣義整數(shù)，5、有限不循環(huán)小數(shù)，6、有限循環(huán)小數(shù)，7、最大分數(shù)單位1/2，8、小數(shù)單位，9、最大小數(shù)單位——0.5等等
1、數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2（1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么？）：
純粹數(shù)學(xué)理論上存在著缺陷與不足，那就是偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，換言之，純粹數(shù)學(xué)在理論上根本無法承認和接受2是數(shù)學(xué)公理，因為奇數(shù)不能被2整除自身就是科學(xué)根據(jù)與鐵的事實，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，如此理論太絕對了，已經(jīng)給純粹數(shù)學(xué)的理論造成了不可思議，奇數(shù)不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思、探討、探索——不能還停留在偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除玄學(xué)的理論水平上，要深化理論認識，…。
為什么1+1=2，本文回答既簡單又深奧：偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對立統(tǒng)一，1+1=2是數(shù)學(xué)首要公理，1+1=2蘊涵著深刻的對立統(tǒng)一規(guī)律，是??！它真的既簡單又深奧，它簡單的表面上看似是小學(xué)生的基本知識，然而其道理深奧地不可思議、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解與接受，更不是小學(xué)生能夠理解的數(shù)學(xué)知識，...!
偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)不僅存在著對立性，而且還存在著共性和同一性，即異中之同，差異中的共性，…，
其一：奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除就是指奇數(shù)與偶數(shù)的異中之同，差異中的共性與同一性，
其二：偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除就是指奇數(shù)與偶數(shù)的差異性、排斥性、對立性，
因此說，奇數(shù)與偶數(shù)既有對立性又有同一性，奇數(shù)與偶數(shù)二者存在著相反相成、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，它揭示著2是數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的首要公理，這是世界觀的認識問題，有什么樣的世界觀就有什么樣的認識論、方法論，如果玄學(xué)，無論如何都是無法理解、接受它，如此真理說不清、理還亂、但是它的廬山真面目就是如此，無法更改，古人云“不識廬山真面目、只緣身在此山中”，需要“跳出廬山看廬山”，要擺脫兩千多年玄學(xué)的嚴重束縛，…。
為什么1+1=2不是指數(shù)論的“1+1”，為什么1+1=2？不僅要知其然還要知其所以然，…，絕對值1+1=2與數(shù)論的“1+1”既有差異又有聯(lián)系，如果把素數(shù)2看作偶素數(shù)，那么數(shù)論的“1+1”是指大于等于6的偶數(shù)可表示為兩個素數(shù)之和——歌德巴赫猜想，無需奇素數(shù)，本文素數(shù)就是指奇素數(shù)3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，數(shù)論的“1+1”它是絕對值的特殊公理，數(shù)論的“1+1”與絕對值的1+1=2在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中一脈相承，在絕對值1+1=2數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中蘊涵著數(shù)論的“1+1”，數(shù)論的“1+1”是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)偶環(huán)節(jié)上的特殊公理，換言之、數(shù)論的“1+1”也是數(shù)學(xué)公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=3+15，……，無窮無盡）擁有客觀存在性，并非被摘取下來才擁有真實性、摘取不下來就非真實性和非客觀存在性，既不肯定也不否定模棱兩可、這背離了數(shù)學(xué)（邏輯）排中律，…。
雖然哥德巴赫猜想數(shù)學(xué)命題沒有被數(shù)學(xué)專家畢了、依然被人們研究著，但傳統(tǒng)的素數(shù)“篩法”，此路不通已失去了昔日輝煌，…。
2、自然數(shù)與正整數(shù)、單位“1”與自然“1”：
1+1=2是科學(xué)抽象的、1+1=2以及正整數(shù)是相對于廣義的單位“1”而言，單位“1”的含量絕對統(tǒng)一，1+1=2并非自然“1”的意義，事實上自然數(shù)與正整數(shù)既有差異又有聯(lián)系，自然數(shù)是相對于自然“1”而言，正整數(shù)是相對于單位“1”而言，正整數(shù)是把自然數(shù)提升到了抽象的科學(xué)高度，由于自然數(shù)、時常因單位“1”不統(tǒng)一、“含金量”不一致，如果對自然數(shù)直接進行運算是有很大的局限性——有時正確、有時有偏差，我們?nèi)祟愂锹斆髦腔鄣?，有了?shù)學(xué)的廣義的單位“1”、正整數(shù)，消除了自然數(shù)的局限性，…。
3、哲理整小數(shù)以及哲理整小數(shù)的雙重性質(zhì)（或哲理整分數(shù)和哲理整分數(shù)的雙重性質(zhì)）：
小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......，的絕對值擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，哲理整性質(zhì)是指小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......（注：它們的小數(shù)部分均為0.5，只涉及到0.5也可以、也足以）的絕對值比其他普通小數(shù)的絕對值整裝、…、本文將它們的這一特性簡稱為哲理整性質(zhì)（相對整），因為1/2是最大分數(shù)單位，則0.5是最大小數(shù)單位，因此0.5擁有哲理整性質(zhì)，它地地道道、的的確確客觀存在著，我們的認識迄今為止還未意識到，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，唯恐越看越不明白，令人意亂、勞神，...。
哲理整小數(shù)：本文將小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…和它們的哲理整性質(zhì)（相對整）統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)，務(wù)必明確的說明，哲理整小數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。
哲理整分數(shù)：本文將分數(shù)1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2……和它們的哲理整性質(zhì)統(tǒng)稱為哲理整分數(shù)，哲理整分數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。
普通小數(shù)：不包含哲理整小數(shù)在內(nèi)的小數(shù)簡稱為普通小數(shù)。
普通分數(shù)：不包含哲理整分數(shù)在內(nèi)的分數(shù)簡稱為普通小數(shù)。
4、1/2和0.5哲理整性質(zhì)的科學(xué)依據(jù):
分數(shù)擁有分數(shù)單位，數(shù)學(xué)教科書應(yīng)該明確指出1/2是最大分數(shù)單位，1/1不是最大分數(shù)單位、是整數(shù)分數(shù)，1/1=1依然體現(xiàn)整數(shù)性質(zhì)、是一個特例，然而迄今為止還沒有小數(shù)單位，數(shù)學(xué)需要向前發(fā)展提出小數(shù)單位、最大消暑單位，要明確指出最大小數(shù)單位是“0.5”，而且為奇數(shù)能被2哲理整除提供客觀科學(xué)依據(jù)，才更符合數(shù)學(xué)的客觀實際！單憑直覺，最大分數(shù)單位1/2和最大小數(shù)單位0.5還未體現(xiàn)出其真正數(shù)學(xué)意義，最大分數(shù)單位和最大小數(shù)單位在本質(zhì)上體現(xiàn)哲理整性質(zhì)才是其真正的數(shù)學(xué)意義，這是如何對待數(shù)學(xué)真理的重大認識問題，并非可有可無，可無必然是一個數(shù)學(xué)錯誤，1/2和0.5的哲理整性質(zhì)是微小微妙、微乎其微的變化、微不足道的差異性，若不仔細認真觀察很難被人們發(fā)現(xiàn)，形而上學(xué)排斥它、大多數(shù)人無法理解接受它，有理難辯啊，難！真的很難！不僅如此還會遭人諷刺、挖苦等等，…。
關(guān)于分數(shù)和小數(shù)：分數(shù)單位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…對應(yīng)下的小數(shù)應(yīng)為小數(shù)單位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，….。
哲理整性質(zhì)的來龍去脈：在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中，派生子集合，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…從系統(tǒng)發(fā)展變化中分化出來，占據(jù)整數(shù)的位置充分地十足地體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)或者說體現(xiàn)其相對整性質(zhì)，數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)為其提供科學(xué)依據(jù)；最大分數(shù)單位1/2、最大小數(shù)單位0.5也為其提供科學(xué)依據(jù)，只有在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中才能夠發(fā)現(xiàn)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）擁有哲理整性質(zhì)，單憑直覺無從談起，單憑直覺只能看到最大分數(shù)單位和最大小數(shù)單位，…。
能被2整除的是偶數(shù)，…，整數(shù)0，1，-1，2，-2.，3，-3，4，-4，5，-5，……，…為偶數(shù)能被2整除提供科學(xué)依據(jù)舉世公認，…。
為了便于理解接受也可以首先把0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…暫時將它們看作哲理整數(shù)（相對整數(shù)），哲理整數(shù)為奇數(shù)能被2哲理整除提供客觀科學(xué)依據(jù)，哲理整數(shù)指小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…的絕對值比其他普通小數(shù)的絕對值整裝——因為0.5是最大小數(shù)單位，與整數(shù)形成異中之同，差異中有共性，數(shù)學(xué)與哲學(xué)將這一特性簡稱為哲理整性質(zhì)（相對整）——哲理整數(shù)（相對整），但是理解接受以后：絕對不能忘記了哲理整數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，一是擁有普通小數(shù)性質(zhì)、二是擁有哲理整性質(zhì)，只承認它們的小數(shù)性質(zhì)認識是片面的，只承認0.它們的哲理整性質(zhì)認識是片面的，…。
事實上只有把哲理整數(shù)統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)體現(xiàn)雙重性質(zhì)才更確切、完整、正確，…。
5、有理數(shù)系數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)（就不展開敘述了）：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此結(jié)構(gòu)式上下交錯對應(yīng)不能散開）
[0.1～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1環(huán)節(jié)：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2環(huán)節(jié)：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3環(huán)節(jié)：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4環(huán)節(jié)：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5環(huán)節(jié)：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6環(huán)節(jié)：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
……，…，
∑{[0～1]}意指0與1之間的基數(shù)之和，它是集合族、有無窮個子集合或有無窮個數(shù)組，其他依次類推，符號：意指派生子集合，很顯然，在系統(tǒng)數(shù)值邏輯運算過程中，小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……從系統(tǒng)發(fā)展變化過程中產(chǎn)生分化出來，占據(jù)整數(shù)位置，充分體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)，即派生子集合，為奇數(shù)能被2哲理整除提供科學(xué)依據(jù)，蘊涵著完整的數(shù)值運算規(guī)律，數(shù)論、集論、算術(shù)三位一體、辯證統(tǒng)一，蘊涵著完整數(shù)學(xué)公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…。
潛無限給數(shù)值邏輯奠定基礎(chǔ)并給作科學(xué)指導(dǎo)，潛無限排斥實無限，…。
實無限只能給數(shù)理邏輯奠定基礎(chǔ)，如何給數(shù)值邏輯作科學(xué)指導(dǎo)？實無限排斥潛無限，事實上互相排斥，…。
6、廣義整數(shù)：
廣義整數(shù)：將整數(shù)和哲理整小數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)（將整數(shù)和哲理整分數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)），…。
7、有限不循環(huán)小數(shù)：
有限不循環(huán)小數(shù)：為了便于理解，簡言之，我們把無限不循環(huán)小數(shù)有限數(shù)字（小數(shù)點右邊至少有兩位或兩位以上不循環(huán)數(shù)字）稱之為有限不循環(huán)小數(shù)，例如：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……，有無限不循環(huán)小數(shù)必然存在著有限不循環(huán)小數(shù)，在數(shù)值邏輯中，有限不循環(huán)小數(shù)與潛無限不循環(huán)小數(shù)擁有替代無理數(shù)數(shù)值的巨大意義與作用；有限小數(shù)中的小數(shù)再如此細致地劃分出有限不循環(huán)小數(shù)、有限不循環(huán)小數(shù)，才更切合實際，在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中會發(fā)現(xiàn)：有限不循環(huán)小數(shù)擁有客觀存在性，擁有無限不循環(huán)小數(shù)就必然存在著有限不循環(huán)小數(shù)，這的確是一個認識問題，有限不循環(huán)小數(shù)可表達為分數(shù)形式，因此有限不循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，同時還是超越無理數(shù)的有限形式，因此可替代無理數(shù)數(shù)值（無理數(shù)的近似值），只談無限不循環(huán)小數(shù)（只談無理數(shù)），不涉及到有限不循環(huán)小數(shù)是不行的，…。
尤其是有限不循環(huán)小數(shù)，在實質(zhì)上擁有替代無理數(shù)數(shù)值的巨大意義與作用——此乃有限不循環(huán)小數(shù)的重要數(shù)學(xué)意義。
8、有限循環(huán)小數(shù):
有限循環(huán)小數(shù):為了便于理解，簡言之，我們把無限循環(huán)小數(shù)有限個循環(huán)節(jié)（小數(shù)點右邊至少有兩個或兩個以上數(shù)字循環(huán)節(jié)）稱之為有限循環(huán)小數(shù)，如：0.1616，0.161616，0.666，0.666666，0.78787878，0.999999，……，有無限循環(huán)小數(shù)必然存在著有限循環(huán)小數(shù)，有限循環(huán)小數(shù)客擁有客觀存在性，它可替代無限循環(huán)小的數(shù)值，…，這也是一個認識問題，有限循環(huán)小數(shù)可表達為分數(shù)形式，因此有限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，…。
9、普通有限小數(shù)：
把小數(shù)點后邊有一位數(shù)或兩位數(shù)以內(nèi)的小數(shù)簡稱為普通有限小數(shù)，例如：0.9，1.1，1.2，3.6，3.8，5.8，6.8，7.16，………，…。
10、總之、數(shù)學(xué)理論要有所突破、要有所進展：
數(shù)學(xué)（算術(shù)）需要向前發(fā)展有所突破：
（1）提出數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2，
（2）明確指出1/2是最大分數(shù)單位，
（3）提出小數(shù)單位、最大小數(shù)單位、0.5是最大小數(shù)單位，
（4）將有限小數(shù)細致劃分為：
a、哲理整小數(shù)：0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，
b、普通有限小數(shù)，
c、有限不循環(huán)小數(shù)，
d、有限循環(huán)小數(shù)，
（5）有理數(shù)系數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)，
（6）廣義整數(shù)，
（7）哲理整分數(shù)：1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，……，
（8）整數(shù)分數(shù)：把1/1，-1/1，2/1，-2/1，3/1，-3/1，4/1，-4/1，5/1，-5/1，6/1，-6/1，……統(tǒng)稱為整數(shù)分數(shù)，擁有雙重身份，…。
（9）雙素數(shù)：例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示為兩個等值素數(shù)之和，雙素數(shù)星星點點揭示著哥德巴赫猜想擁有客觀存在性，無法否定它，
（10）偶素數(shù)——2：2既是一個偶數(shù)又一個素數(shù)，把2簡稱為偶素數(shù)，
等等才更接近數(shù)學(xué)的實際情況，希望數(shù)學(xué)教師率先轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)思維理念給以鼎力支持，…。
總之，依然還是把整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，只不過是又將分數(shù)劃分為哲理整分數(shù)、普通分數(shù)、還有整數(shù)分數(shù)，...，為什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理，一定要弄明白其中的原理、道理、哲理！…，再次說明，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，這是很正常的，且末當(dāng)真、切莫較真，同時也說明一點本文為什么1+1=2的含義不同于1+1為什么等于2？，也未直接涉及到數(shù)論的“1+1”，…。
錯字、多字、漏字、錯誤在所難免，本文作為數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)最新觀點，僅供參考、并不強加于人。
參考文獻：
1、《辯證唯物主義和歷史唯物主義原理》，中國人民大學(xué)出版社出版
2、《古今數(shù)學(xué)思想》（北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯）上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版，1981年7月。原作者：（美國數(shù)學(xué)家）M.克萊因著
3、《普通邏輯原理》，主編：吳家國，高等教育出版社出版，1992年9月
“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點，或者是一般的、基本的原理?！薄皩W(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！睌?shù)學(xué)思想與方法為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分。下面從基本結(jié)構(gòu)學(xué)說中來看數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)所具有的重要意義。
第一.“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”。心理學(xué)認為“由于認知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識，因而新知識與舊知識所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)?！碑?dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義，”即使新知識能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)中去。學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。
第二.有利于記憶。除非把一件件事情放進構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會忘記。學(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個現(xiàn)象的工具。
由此可見，數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。無怪乎有人認為，對于中學(xué)生“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。”
第三.學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”。這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴大和加深知識。曹才翰教授也認為，“如果學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對于新學(xué)習(xí)是有利的，”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識才能實現(xiàn)遷移?！泵绹睦韺W(xué)家賈德通過實驗證明，“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中?！睂W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想、方法有利于實現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。
第四.強調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，“能夠縮短‘高級’知識和‘初級’知識之間的間隙。”一般地講，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的涵義。而在高等數(shù)學(xué)中幾乎全部保留下來的只有中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法以及與其關(guān)系密切的內(nèi)容，如集合、對應(yīng)等。因此，數(shù)學(xué)思想、方法是聯(lián)結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紅線。
2.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的層次
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為表層知識，另一個稱為深層知識。表層知識包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，深層知識主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。
表層知識是深層知識的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強操作性的知識。學(xué)生只有通過對教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識后，才能進一步的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識。
深層知識蘊含于表層知識之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識。教師必須在講授表層知識的過程中不斷地滲透相關(guān)的深層知識，讓學(xué)生在掌握表層知識的同時，領(lǐng)悟到深層知識，才能使學(xué)生的表層知識達到一個質(zhì)的“飛躍”，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)超脫“題?！敝?，使其更富有朝氣和創(chuàng)造性。
那種只重視講授表層知識，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對所學(xué)知識的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高；反之，如果單純強調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識的教學(xué)，就會使教學(xué)流于形式，成為無源之水，無本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識的真諦。因此，數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)應(yīng)與整個表層知識的講授融為一體，使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。
3.中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法
數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識。由于中學(xué)生認知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高。我們認為，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有三個：集合思想、化歸思想和對應(yīng)思想。其理由是：
（1）這三個思想幾乎包攝了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；
（2）符合中學(xué)生的思維能力及他們的實際生活經(jīng)驗，易于被他們理解和掌握；
（3）在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機會比較多；
（4）掌握這些思想可以為進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)。
此外，符號化思想、公理化思想以及極限思想等在中學(xué)數(shù)學(xué)中也不同程度地有所體現(xiàn)，應(yīng)依據(jù)具體情況在教學(xué)中予以滲透。
數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學(xué)知識，經(jīng)驗以及數(shù)學(xué)思想掌握情況密切相關(guān)。從有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)出發(fā)，本著數(shù)量不宜過多原則，我們認為目前應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)方法有：數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、變換法、函數(shù)法和類分法等。一般講，中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，運用數(shù)學(xué)方法，通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的。
4.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)模式
數(shù)學(xué)表層知識與深層知識具有相輔相成的關(guān)系，這就決定了他們在教學(xué)中的辯證統(tǒng)一性?；谏鲜稣J識，我們給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個教學(xué)模式：
操作——掌握——領(lǐng)悟
對此模式作如下說明：
（1）數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)要求教師較好地掌握有關(guān)的深層知識，以保證在教學(xué)過程中有明確的教學(xué)目的；
（2）“操作”是指表層知識教學(xué)，即基本知識與技能的教學(xué)?！安僮鳌笔菙?shù)學(xué)思想、方法教學(xué)的基礎(chǔ)；
（3）“掌握”是指在表層知識教學(xué)過程中，學(xué)生對表層知識的掌握。學(xué)生掌握了一定量的數(shù)學(xué)表層知識，是學(xué)生能夠接受相關(guān)深層知識的前提；
比如在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)“誘導(dǎo)公式”時，教師就可以結(jié)合每個學(xué)生的實際情況，讓學(xué)生對單位圓進行回顧，在觀察其中對稱性的過程中，再次溫習(xí)圓的性質(zhì)，調(diào)動學(xué)生各自的原有認識，利用問題促進學(xué)生的進一步探索:利用圓的對稱性探索三角函數(shù)的性質(zhì)．具體的問題為學(xué)生的思路指明了方向，學(xué)生從始邊和角的終邊來建立三角函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系．課堂給學(xué)生預(yù)留充足的思考空間，發(fā)揮每個學(xué)生的個性特質(zhì)，用個別討論來代替整體教學(xué)，從而形成了師生、生生之間激烈的討論氛圍，每個學(xué)生都結(jié)合自己的認知來發(fā)表觀點和看法，教師順利地掌握了每個學(xué)生的思維關(guān)鍵點，順利地做到了“對癥下藥”，學(xué)生對三角函數(shù)的性質(zhì)和思想有了更深的理解，準確得出了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，使每個學(xué)生都有了提高．通過這樣的課堂建立，尊重了學(xué)生的個性發(fā)展，才使得學(xué)生可以盡情地展示自己的想法，積極地與老師討論其中的數(shù)學(xué)邏輯和推導(dǎo)方法，從而能夠從自己的思維原點出發(fā)，逐步地達到掌握新知的終點，在很大程度上提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率．
二、組織合作討論，實現(xiàn)思維創(chuàng)新
學(xué)生的探究僅靠自身的學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗是遠遠不夠的，需要通過相互之間的合作討論，積極地表達自己的觀點和想法，在思維碰撞之中主動實現(xiàn)新知的搭建，在思想的交流中順利完成對問題的發(fā)現(xiàn)、探索和解決，以逐步地突破原有思維、實現(xiàn)創(chuàng)新．比如在學(xué)習(xí)有關(guān)“余弦定理”時，學(xué)生在對自動卸貨汽車的車箱進行分析后，發(fā)現(xiàn)其設(shè)計的關(guān)鍵是油泵頂桿長度的計算，從而將其轉(zhuǎn)化為幾何圖形的計算:已知三角形中的兩個邊和這兩個邊的夾角，求第三條邊的長度．學(xué)生學(xué)過直角三角形中斜邊的求法，對這個問題還比較陌生一時很難找到解題思路．在學(xué)生的獨立思考后，教師就可以組織學(xué)生進行合作討論，借助集體的力量來對難題進行攻克，學(xué)生們先從思路入手，企圖找到解決問題的方法，這時有個學(xué)生說道:“老師總是說將特殊的問題一般化，將復(fù)雜的問題簡單化，那這個怎么才能轉(zhuǎn)化為一般問題呢?”學(xué)生的這句話一下子打開了探究的思維，過頂角在斜邊上做垂線，將斜三角形變?yōu)榱藘蓚€直角三角形，實現(xiàn)了對問題的解決．然而有的學(xué)生卻提出了不同的看法:“如果是鈍角三角形，其垂線應(yīng)該在斜邊的延長線上，這個方法還能適用嗎?”在學(xué)生的嘗試解決中，問題被一個個的攻破，學(xué)生們也都非常的興奮和自信．合作討論給學(xué)生的交流搭建了平臺，實現(xiàn)了對學(xué)生思維的跳躍發(fā)展，有效地促進了學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力．
三、靈活課堂教學(xué)，促進全面發(fā)展
動態(tài)的課堂生成永遠無法模擬．教師就需要結(jié)合課堂生成進行臨時發(fā)揮，嘗試利用自己的機智靈活來調(diào)控課堂教學(xué)，熟練各種教學(xué)教法和技能，從而構(gòu)建和諧的師生、生生關(guān)系，促進相互之間高效的探索、分析和合作，以促進學(xué)生的全面發(fā)展和提高．比如在學(xué)習(xí)有關(guān)“函數(shù)的單調(diào)性”時，教師就可以利用學(xué)生對函數(shù)圖象的認識，讓學(xué)生進行不同函數(shù)間的觀察對比，對增減函數(shù)有一個直觀的認識，利用具體的函數(shù)值進行大小比較，逐步地分析其中圖象變化趨勢，了解函數(shù)值與自變量之間的變化規(guī)律，由此導(dǎo)入學(xué)生對增減函數(shù)概念的認識．然而在概念的描述上，學(xué)生卻使用了“任取”、“任意”這類不規(guī)范的數(shù)學(xué)術(shù)語來進行表達，這時教師就要及時地調(diào)整自己的教法，再次引導(dǎo)學(xué)生對特殊的函數(shù)圖象進行觀察，學(xué)生對同一函數(shù)中有時增函數(shù)、有時減函數(shù)產(chǎn)生疑問，從而對增減函數(shù)的定義進行質(zhì)疑，領(lǐng)會到自己在表達上的不全面，及時地加以完善和糾正，準確地掌握了增減函數(shù)中的定義域，加深了對單調(diào)性的理解和運用．通過這樣的靈活調(diào)控，深層地幫助學(xué)生分析了自己的思維誤區(qū)，挖掘出了總結(jié)和理解上的漏洞，全面地發(fā)展了學(xué)生的思維，真正地促進了學(xué)生的全面發(fā)展．
四、結(jié)語
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；分層教學(xué)；理論實踐
一、分層教學(xué)理論概念探析
分層教學(xué)理論的誕生，主要是為了能夠彌補以往的教學(xué)方式無法針對水平不同的學(xué)生進行有效性教學(xué)的一種教學(xué)方式，這種教學(xué)理論的提出對于教學(xué)改革有著非常重大的意義，在二十世紀初期，分層教學(xué)的理論被提出，這種教學(xué)理論倡導(dǎo)對于不同水平的學(xué)生利用不同的方式來進行教學(xué)，使得處于各個水平階段的學(xué)生都能夠通過這種方式來提升水平。有些人認為，一些學(xué)生無法取得良好成績主要是因為智力的原因，但是美國的一位專家卻不認可這個原因，這位專家認為這些學(xué)生之所以無法取得良好的成績，是因為他們沒有獲得適合自己的教學(xué)條件以及環(huán)境，并不是因為智力因素的原因，分層教學(xué)理論也就這樣出現(xiàn)了，這種理論的出現(xiàn)也主要是為了給不同類型的學(xué)生提供適合他們的教學(xué)環(huán)境以及條件，從而使得每一個學(xué)生都能夠獲得進步和提升。對于高中數(shù)學(xué)來說，分層教學(xué)的方式是非常有意義的，因為通過實踐我們能夠發(fā)現(xiàn)，如果不能按照學(xué)生的具體水平來實施具有針對性的教學(xué)方式，那么所獲得的教學(xué)效果是非常有限的。以往的一鍋端教學(xué)方式，對于學(xué)生的心理發(fā)展和生理發(fā)育的不均衡性是缺乏關(guān)注的，同時把學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和態(tài)度以及能力都看作智力因素來對學(xué)生進行定義，這也是不符合客觀事實的。學(xué)生之間的各個方面的差異一直是客觀存在的，如果一直按照原有的單一的教學(xué)方式，必然會不利于學(xué)生的數(shù)學(xué)水平提高，長此以往，會造成學(xué)生的數(shù)學(xué)水平兩極分化更加嚴重。所以，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，利用分層教學(xué)的方法是符合客觀需求的，同時也符合因材施教的教學(xué)要求，最重要的是能夠提升對于所有學(xué)生的教學(xué)有效性。
二、高中數(shù)學(xué)實施分層教學(xué)的必要條件
首先，在實施分層教學(xué)之前，應(yīng)該對于學(xué)生的具體情況進行了解，通過問卷調(diào)查、走訪家長以及觀察和談話等方式，對學(xué)生的數(shù)學(xué)水平、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法以及情感進行了解和掌握。另一方面，也要充分考慮到學(xué)生的自尊心以及在日常生活中所面臨的心理壓力，在進行分層教學(xué)之前，進行思想教育工作是十分必要的，要把原因說清楚，讓每個接受分層教學(xué)的學(xué)生能夠清楚地認識到分層教學(xué)是對自己有利的，使得不同數(shù)學(xué)水平的學(xué)生都能夠在教學(xué)過程中得到提升，潛力得到充分發(fā)揮。其次，要讓學(xué)生能夠通過自己的數(shù)學(xué)水平、數(shù)學(xué)成績以及態(tài)度來自主選擇學(xué)習(xí)層次，教師根據(jù)學(xué)生所進行的選擇結(jié)合自己對于學(xué)生基本信息的了解以及學(xué)生的潛力和心理特征等方面，把學(xué)生按照2∶6∶2的比例分為三種層次，在分層的過程中，也要制定必要的發(fā)展目標和基本目標，并且要根據(jù)班級內(nèi)部的具體情況來進行靈活的調(diào)整。
三、高中數(shù)學(xué)實施分層教學(xué)的具體措施
（一）教學(xué)分層
學(xué)生分層之后，數(shù)學(xué)教師要根據(jù)新課標的要求，針對每個層次學(xué)生的特點和數(shù)學(xué)水平的不同，制定針對各層次學(xué)生的教學(xué)內(nèi)容和目標，并貫穿到整個教學(xué)過程中。教學(xué)目標和內(nèi)容要具體，把學(xué)生的能力、性格等因素考慮進去。教學(xué)目標可以劃分為多個層次，不同層次的學(xué)生完成的目標不一樣。針對A層次的學(xué)生，數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)他們主動思考，并能夠提出問題；對B層次的學(xué)生啟發(fā)他們獨立思考，理解并能解決一些簡單的綜合問題；對C層次的學(xué)生則引導(dǎo)他們掌握知識重點，能運用基礎(chǔ)知識解答簡單題目。
（二）任務(wù)分層
新課改要求現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)教育要重視實踐性，其課后作業(yè)和練習(xí)則逐漸被忽視。在分層教學(xué)理念的指導(dǎo)下，教師要根據(jù)學(xué)生的實際情況，依據(jù)大綱要求適當(dāng)布置課后作業(yè)。針對C層次的學(xué)生，只布置一些簡單題目，鞏固所學(xué)知識；對于B層次的學(xué)生布置常見的難點題目，提高解決問題的速度；而對于A層次的學(xué)生則布置提高邏輯思維能力的題目。
（三）評價分層
以往的教學(xué)中，對學(xué)生的評價僅以成績的高低作為唯一判定標準，由于教育的不斷進步，人們逐漸認識到這種評價標準的片面性。不同層次的學(xué)生應(yīng)該實行不同的評價標準，評價的方式應(yīng)該多元化、綜合化。教師評價學(xué)生時，要全面考慮到學(xué)生的性格、學(xué)習(xí)態(tài)度等各種因素，這樣才能更深入地了解學(xué)生。數(shù)學(xué)教師要依據(jù)三個層次學(xué)生的不同情況，制定不同目標，然后在同一層次上進行比較。這種方式不僅可以增強同一層次學(xué)生的競爭意識，促進學(xué)生的進步，還可以增強學(xué)生的自信心。因此，進行分層次評價可以促使A層次的學(xué)生爭取更好的成績，增強B、C層次學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，最終實現(xiàn)每一個學(xué)生都能全面進步的理想。
（四）輔導(dǎo)分層
數(shù)學(xué)教師對學(xué)生的輔導(dǎo)也采用分層的方法，屬于高層學(xué)生的問題，其他兩層的學(xué)生則不用解答。此時，教師可以安排他們做自己層次的習(xí)題，等到他們數(shù)學(xué)能力提高，進入上一層次，要求也就相對提高。另外，安排高層次的學(xué)生輔導(dǎo)低層次學(xué)生的學(xué)習(xí)，既有助于高層次學(xué)生檢查自己對知識的掌握情況，又使下一層學(xué)生解決了學(xué)習(xí)上的困難。
盡管數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的一大特征，但常常被數(shù)學(xué)的嚴謹性和抽象性所掩蓋。讓學(xué)生真正體驗到“數(shù)學(xué)有用”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的有效前提。數(shù)學(xué)教育中，在關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能以及數(shù)學(xué)方法掌握的同時，也應(yīng)該幫助學(xué)生形成一個開闊的視野，了解數(shù)學(xué)對人類發(fā)展的價值，尤其是它的應(yīng)用價值，教師有意識、有計劃挖掘數(shù)學(xué)知識在社會生活、生產(chǎn)及相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與能力。
數(shù)學(xué)與日常生活息息相關(guān)，百分比、比例、統(tǒng)計等成為社會生活的常見名詞，人口增長率、生產(chǎn)統(tǒng)計圖、股票走勢圖等不斷出現(xiàn)在大眾媒體（報刊、電視、網(wǎng)絡(luò)）上，儲蓄、保險、購物決策、估算已成為人們難以回避的現(xiàn)實問題。數(shù)學(xué)與現(xiàn)代社會發(fā)展使得數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴展。CT技術(shù)、核磁共振、數(shù)字電視、飛機設(shè)計、市場預(yù)測等領(lǐng)域都需要教學(xué)的支持。據(jù)不完全統(tǒng)計，近幾年中考數(shù)學(xué)試卷中，除數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部綜合外，九成以上的數(shù)學(xué)試卷涉及到生物、地理、政治、歷史、社會、生活等，解決退耕還林、治理沙化、水資源開發(fā)應(yīng)用、生態(tài)環(huán)境等問題。與物理、化學(xué)結(jié)合更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具作用。因此，教學(xué)中多角度，多方位、多途徑向?qū)W生介紹、展示數(shù)學(xué)的應(yīng)用，如講數(shù)學(xué)故事、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識講座等，也可以鼓勵學(xué)生自己通過多種方式收集數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的案例，撰寫數(shù)學(xué)小論文。從而讓學(xué)生感受到生活處處有數(shù)學(xué)、生活處處用數(shù)學(xué)，讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)的價值，從而激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)。
二、開展實踐作業(yè)和課題學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在活動中學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)
從現(xiàn)實問題情景引入數(shù)學(xué)知識，解決知識的“入口”問題；把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到現(xiàn)實情景中，解決知識的“出口”問題。在教學(xué)中，我們不能只給學(xué)生“燒中段”。學(xué)生不僅在數(shù)學(xué)理論和邏輯思維能力上要得到訓(xùn)練和提高，而且應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力同樣需要得到訓(xùn)練和提高。后者僅限于課堂教學(xué)是不夠的。要學(xué)生會在實踐中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，會使用數(shù)學(xué)知識來分析問題和講座問題，還必須會把數(shù)學(xué)上得到的結(jié)論回到實際中解決問題。新教材安排的實習(xí)作業(yè)、課題學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)實踐活動的主要形式。無論是實習(xí)作業(yè)，還是課題學(xué)習(xí)，都要立足于教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生自主參與，從教學(xué)的角度對某些日常生活中和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題引進實踐活動，內(nèi)容要立足于課標，問題的設(shè)計要符合基礎(chǔ)性、多樣性、層次性、開放性的原則，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、動手操作能力、創(chuàng)新意識，同時使學(xué)生學(xué)會與人合作，獲得直接經(jīng)驗，并在探索、實踐中獲得積極的情感體驗。
三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想
從數(shù)學(xué)應(yīng)用能力測試結(jié)果分析，初中生掌握了一定的數(shù)學(xué)知識，但接觸到實際問題時常感到束手無策，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的過程正是幫助學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想、方法、語言去描述和解決問題的過程。因此把實際問題經(jīng)過抽象轉(zhuǎn)化，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識與能力的關(guān)鍵所在。教學(xué)中應(yīng)把數(shù)學(xué)建模滲透在日常教學(xué)之中。具體而言，可以用數(shù)學(xué)模型指導(dǎo)教材中應(yīng)用問題教學(xué)；可以利用各種課程資源充分挖掘數(shù)學(xué)建模素材；還可以選擇一些簡單的實例培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。
